《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.(2024·江苏无锡模拟)函数$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2,x\leqslant0\\2x - 6+\lg x,x＞0\end{cases}$的零点的个数为_______.

答案： 答案 2
解析 当$x\leqslant0$时，$f(x)=x^{2}-2$，根据二次函数的性质可知，此时$f(x)$单调递减，零点为$x = -\sqrt{2}$；当$x＞0$时，$f(x)=2x - 6+\lg x$，$\because y = 2x - 6$单调递增，$y=\lg x$单调递增，$\therefore f(x)=2x - 6+\lg x$单调递增. $f(1)=-4＜0$，$f(3)=\lg3＞0$，由零点存在定理知，在区间$(1,3)$必有唯一零点. 综上所述，函数$f(x)$的零点的个数为2.

例3　　已知函数$f(x)=3^{x}+x$，$g(x)=\log_{2}x + x$，$h(x)=x^{2}+x$的零点分别为$a$，$b$，$c$，则$a$，$b$，$c$的大小顺序为（ ）
A. $a ＜ c ＜ b$
B. $a ＜ b ＜ c$
C. $b ＜ a ＜ c$
D. $b ＜ c ＜ a$

答案：
A [解法一：因为函数$y = 3^{x}$，$y = x$均为$\mathbf{R}$上的增函数，故函数$f(x)=3^{x}+x$为$\mathbf{R}$上的增函数，因为$f(-1)=\dfrac{1}{3}-1＜0$，$f(0)=1＞0$，所以$-1 ＜ a ＜ 0$. 因为函数$y=\log_{2}x$，$y = x$在$(0,+\infty)$上均为增函数，故函数$g(x)=\log_{2}x+x$在$(0,+\infty)$上为增函数，因为$g\left(\dfrac{1}{2}\right)=-1+\dfrac{1}{2}＜0$，$g(1)=1＞0$，所以$\dfrac{1}{2}＜b＜1$. 由$h(c)=c(c^{2}+1)=0$可得$c = 0$，因此$a ＜ c ＜ b$. 故选A.
解法二：由题设，$3^{a}=-a$，$\log_{2}b=-b$，$c^{3}=-c$，所以问题可转化为直线$y=-x$与$y = 3^{x}$，$y=\log_{2}x$，$y = x^{3}$的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知$a ＜ c = 0 ＜ b$. 故选A.]

5.(2023·江西南昌模拟预测)已知函数$f(x)=2^{x}+x - 4$，$g(x)=e^{x}+x - 4$，$h(x)=\ln x + x - 4$的零点分别是$a$，$b$，$c$，则$a$，$b$，$c$的大小顺序是（ ）
A. $a ＜ b ＜ c$
B. $c ＜ b ＜ a$
C. $b ＜ a ＜ c$
D. $c ＜ a ＜ b$

答案：
C [由已知条件得$f(x)$的零点可以看成$y = 2^{x}$的图象与直线$y = 4 - x$的交点的横坐标，$g(x)$的零点可以看成$y=\text{e}^{x}$的图象与直线$y = 4 - x$的交点的横坐标，$h(x)$的零点可以看成$y=\ln x$的图象与直线$y = 4 - x$的交点的横坐标，在同一坐标系内分别画出函数$y = 2^{x}$，$y=\text{e}^{x}$，$y=\ln x$，$y = 4 - x$的图象，如图所示，由图可知$b ＜ a ＜ c$. 故选C.]

例4　　(2023·山东济南高三三模)已知函数$f(x)=\begin{cases}(x + 1)^{2},x\leqslant0\\|\lg x|,x＞0\end{cases}$，若函数$g(x)=f(x)-b$有四个不同的零点，则实数$b$的取值范围为（ 
A. (0,1] B. [0,1] C. (0,1) D. $(1,+\infty)$

答案：
A [依题意，函数$g(x)=f(x)-b$有四个不同的零点，即$f(x)=b$有四个解，转化为函数$y = f(x)$与$y = b$的图象有四个交点，由函数$y = f(x)$可知，当$x\in(-\infty,-1]$时，函数单调递减，$y\in[0,+\infty)$；当$x\in(-1,0]$时，函数单调递增，$y\in(0,1]$；当$x\in(0,1)$时，函数单调递减，$y\in(0,+\infty)$；当$x\in[1,+\infty)$时，函数单调递增，$y\in[0,+\infty)$. 结合图象，可知实数$b$的取值范围为$(0,1]$. 故选A.]

6.(2024·安徽蚌埠高三摸底)已知函数$f(x)=2^{|x|}+x^{2}+a$有唯一的零点，则实数$a$的值为（ ）
A. 1
B. - 1
C. 0
D. - 2

答案： B [函数$f(x)=2^{|x|}+x^{2}+a$的定义域为$\mathbf{R}$，$f(-x)=2^{|-x|}+(-x)^{2}+a=f(x)$，即函数$f(x)$为偶函数，当$x\geqslant0$时，$f(x)=2^{x}+x^{2}+a$，则$f(x)$在$[0,+\infty)$上单调递增，在$(-\infty,0)$上单调递减，则当$x = 0$时，$f(x)_{\min}=a + 1$，由函数$f(x)=2^{|x|}+x^{2}+a$有唯一的零点，得$a + 1 = 0$，解得$a=-1$，所以实数$a$的值为$-1$. 故选B.]

7. 设$a\in\mathbf{R}$，对任意实数$x$，记$f(x)=\min\{|x|-2,x^{2}-ax + 3a - 5\}$. 若$f(x)$至少有3个零点，则实数$a$的取值范围为_______.

答案：
答案 $[10,+\infty)$
解析 设$g(x)=x^{2}-ax + 3a - 5$，$h(x)=|x|-2$，由$|x|-2 = 0$可得$x=\pm2$. 要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则函数$g(x)$至少有一个零点，则$\Delta=a^{2}-12a + 20\geqslant0$，解得$a\leqslant2$或$a\geqslant10$. ①当$a = 2$时，$g(x)=x^{2}-2x + 1$，作出函数$g(x)$，$h(x)$的图象如图所示，此时函数$f(x)$只有2个零点，不符合题意；②当$a＜2$时，设函数$g(x)$的2个零点分别为$x_{1}$，$x_{2}(x_{1}＜x_{2})$，要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则$x_{2}\leqslant - 2$，所以$\begin{cases}\dfrac{a}{2}＜-2\\g(-2)=4 + 5a - 5\geqslant0\end{cases}$，无解；③当$a = 10$时，$g(x)=x^{2}-10x + 25$，作出函数$g(x)$，$h(x)$的图象如图所示，由图可知，函数$f(x)$的零点个数为3，符合题意；④当$a＞10$时，设函数$g(x)$的2个零点分别为$x_{3}$，$x_{4}(x_{3}＜x_{4})$，要使得函数$f(x)$至少有3个零点，则$x_{3}\geqslant2$，可得$\begin{cases}\dfrac{a}{2}＞2\\g(2)=4 + a - 5\geqslant0\end{cases}$，解得$a＞4$，所以$a＞10$. 综上所述，实数$a$的取值范围是$[10,+\infty)$.

例5　　已知函数$f(x)=\log_{2}(x + 1)-\frac{1}{x}+m$在区间(1,3]上有零点，则实数$m$的取值范围为_______.

答案： 答案 $\left[-\dfrac{5}{3},0\right)$
解析 由于函数$y=\log_{2}(x + 1)$，$y=m-\dfrac{1}{x}$在区间$(1,3]$上单调递增，所以函数$f(x)$在$(1,3]$上单调递增，由于函数$f(x)=\log_{2}(x + 1)-\dfrac{1}{x}+m$在区间$(1,3]$上有零点，则$\begin{cases}f(1)＜0\\f(3)\geqslant0\end{cases}$，即$\begin{cases}m＜0\\m+\dfrac{5}{3}\geqslant0\end{cases}$，解得$-\dfrac{5}{3}\leqslant m＜0$. 因此实数$m$的取值范围是$\left[-\dfrac{5}{3},0\right)$.