《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5.在①离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$；②过点$E(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$；③$a=\sqrt{2}b$这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知椭圆C：$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点为F(1,0)，且________.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，若$\triangle OMN$(O为坐标原点)的面积为$\frac{2}{3}$，求直线l的方程.

答案： 解
(1)选条件①：由椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点为$F(1,0)$，得$c = 1$，
因为离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以$a=\sqrt{2}$，
所以$b^{2}=a^{2}-c^{2}=1$，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$.
选条件②：由椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点为$F(1,0)$，得$c = 1$，
又椭圆C过点$E(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$，则$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{2b^{2}}=1$，
又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
所以$a^{2}=2$，所以椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$.
选条件③：由椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$的右焦点为$F(1,0)$，得$c = 1$，
又$a=\sqrt{2}b,a^{2}=b^{2}+c^{2}$，则$b^{2}=c^{2}=1,a^{2}=2$，
所以椭圆C的方程为$\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1$.
(2)由题意，设直线l的方程为$x = my + 1$，
由$\begin{cases}\frac{x^{2}}{2}+y^{2}=1,\\x = my + 1,\end{cases}$得$(m^{2}+2)y^{2}+2my - 1 = 0$，
因为$\Delta=4m^{2}+4(m^{2}+2)=8(m^{2}+1)＞0$，
设$M(x_{1},y_{1}),N(x_{2},y_{2})$，
所以$y_{1}+y_{2}=-\frac{2m}{m^{2}+2},y_{1}y_{2}=-\frac{1}{m^{2}+2}$，
所以$\triangle OMN$的面积$S=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_{2}-y_{1}|$
$=\frac{1}{2}\sqrt{(y_{2}+y_{1})^{2}-4y_{2}y_{1}}=\frac{1}{2}\sqrt{(-\frac{2m}{m^{2}+2})^{2}+\frac{4}{m^{2}+2}}$
$=\frac{\sqrt{2}\sqrt{m^{2}+1}}{m^{2}+2}$，
因为$\triangle OMN$的面积为$\frac{2}{3}$，
所以$\frac{\sqrt{m^{2}+1}}{m^{2}+2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$，解得$m=\pm1$，
所以直线l的方程为$x + y-1 = 0$或$x - y-1 = 0$.

1. 双曲线的定义
把平面内与两个定点$F_1$，$F_2$的距离的差的________等于非零常数(______$|F_1F_2|$)
的点的轨迹叫做双曲线. 这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________.

答案： 绝对值 小于 焦点 焦距