《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 利用基本不等式求最值
　(1)已知$x,y$都是正数，如果积$xy$等于定值$P$，那么当______时，和$x + y$有最小值______.（简记：积定和最小）
　(2)已知$x,y$都是正数，如果和$x + y$等于定值$S$，那么当______时，积$xy$有最大值______.（简记：和定积最大）

答案： $x = y$，$2\sqrt{P}$，$x = y$，$\frac{1}{4}S^{2}$

　诊断自测
1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
　(1)$y = x+\frac{1}{x}$的最小值是 2.　　　　　　(　　　)
　(2)$|\frac{b}{a}+\frac{a}{b}|\geqslant2$.　　　　　　　　　　　(　　　)
　(3)已知$0\lt x\lt\frac{1}{2}$，则$x(1 - 2x)$的最大值为$\frac{1}{8}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　(4)函数$f(x)=\sin x+\frac{4}{\sin x}$的最小值为 4.
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

答案： 1.
(1)×
(2)√
(3)√
(4)×

2. 小题热身
　(1)设$a\gt0$，则$9a+\frac{1}{a}$的最小值为 （ ）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7

答案： 2.
(1)C $[9a+\frac{1}{a}\geqslant2\sqrt{9a\cdot\frac{1}{a}} = 6$,当且仅当$9a=\frac{1}{a}$,即$a=\frac{1}{3}$时,等号成立.]

(2)矩形两边长分别为$a,b$，且$a + 2b = 6$，则矩形面积的最大值是 （ ）
A. 4
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
D. 2

答案：
(2)B [依题意,可得$a ＞ 0,b ＞ 0$,则$6 = a + 2b\geqslant2\sqrt{a\cdot2b}=2\sqrt{2}\cdot\sqrt{ab}$,当且仅当$a = 2b$时取等号,所以$ab\leqslant\frac{6^{2}}{8}=\frac{9}{2}$,即矩形面积的最大值为$\frac{9}{2}$.故选 B.]

(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数$a\gt0$，$b\gt0$，$a + b = 2$，则$\frac{1}{a}+\frac{a}{b}$的最小值为______.

答案：
(3)答案 $\frac{1}{2}+\sqrt{2}$
解析 $\frac{1}{a}+\frac{a}{b}=\frac{1}{2}\times\frac{a + b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{1}{2}+\frac{b}{2a}+\frac{a}{b}\geqslant\frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{b}{2a}\cdot\frac{a}{b}}=\frac{1}{2}+\sqrt{2}$,当且仅当$\frac{b}{2a}=\frac{a}{b}$,即$a = 2\sqrt{2}-2,b = 4 - 2\sqrt{2}$时,等号成立.

(4)(人教 A 必修第一册习题 2.2 T1(2)改编)
　函数$y = x(3 - 2x)(0\leqslant x\leqslant1)$的最大值是______.

答案：
(4)答案 $\frac{9}{8}$
解析 因为$0\leqslant x\leqslant1$,所以$3 - 2x＞0$,所以$y=\frac{1}{2}\cdot2x\cdot(3 - 2x)\leqslant\frac{1}{2}[\frac{2x+(3 - 2x)}{2}]^{2}=\frac{9}{8}$,当且仅当$2x = 3 - 2x$,即$x=\frac{3}{4}$时取等号.

(5)(人教 A 必修第一册复习参考题 2 T5 改编)已知$a,b\gt0$，且$ab = a + b + 3$，则$ab$的取值范围为______.

答案：
(5)答案 $[9,+\infty)$
解析 因为$a,b＞0$,所以$ab - 3 = a + b\geqslant2\sqrt{ab}$,于是$ab - 2\sqrt{ab}-3\geqslant0$,解得$\sqrt{ab}\leqslant - 1$(舍去)或$\sqrt{ab}\geqslant3$,所以$ab\geqslant9$,当且仅当$a = b = 3$时,等号成立,所以$ab$的取值范围是$[9,+\infty)$.