《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
3.过点P(8,1)的直线与双曲线$x^{2}-4y^{2}=4$交于A,B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为____________.

答案： [巩固迁移] 3.答案 2x - y - 15 = 0
解析 设A，B的坐标分别为(x₁,y₁)，(x₂,y₂)，则x₁² - 4y₁² = 4 ①，x₂² - 4y₂² = 4 ②. 由① - ②，得(x₁ + x₂)(x₁ - x₂) - 4(y₁ + y₂)·(y₁ - y₂) = 0，
∵P是线段AB的中点，
∴x₁ + x₂ = 16，y₁ + y₂ = 2，
∴(y₁ - y₂) / (x₁ - x₂) = (x₁ + x₂) / (4(y₁ + y₂)) = 2.
∴直线AB的斜率为2，
∴直线AB的方程为2x - y - 15 = 0.

例4 (2024·重庆一中质检)在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的双曲线C过点T(2,3),且有一条倾斜角为120°的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{PQ}$,直线QF交双曲线C于A,B两点，若$|AB|=2|QF|$,求点P的坐标.

答案：
例4 解
(1)设双曲线C的标准方程为x² / a² - y² / b² = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)，渐近线方程为y = ±b / a x，则由题意可得，4 / a² - 9 / b² = 1，且 -b / a = tan120° = -√3，解得a = 1，b = √3，则双曲线C的标准方程为x² - y² / 3 = 1.
(2)双曲线C的方程为x² - y² / 3 = 1，所以C的右焦点F(2,0)，点Q满足OP = PQ，则P为OQ的中点，设P(m,n)，m ＞ 0，则Q(2m,2n)，若直线AB的斜率不存在，则其方程为x = 2，此时P(1,0)，m = 1，Q与F重合，不符合题意；若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y = k(x - 2)，m ≠ 1，因为$k_QF = k，$所以2n / (2m - 2) = k，所以n = (m - 1)k，因为点P在双曲线C上，所以3m² - n² = 3，所以3m² - [(m - 1)k]² = 3，即k² = (3m + 3) / (m - 1)，联立{y = k(x - 2), 3x² - y² = 3}，消去y，得(k² - 3)x² - 4k²x + 4k² + 3 = 0，所以k² - 3 ≠ 0，Δ = 16k⁴ - 4(k² - 3)(4k² + 3) = 36(k² + 1) ＞ 0.设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁ + x₂ = 4k² / (k² - 3)，x₁x₂ = (4k² + 3) / (k² - 3).因为|AB| = 2|QF|，所以|x₂ - x₁| = 2|2m - 2|，所以(x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = 16(m - 1)²，所以(4k² / (k² - 3))² - 4×(4k² + 3) / (k² - 3) = 16(m - 1)²，即9(k² + 1) = 4(m - 1)²(k² - 3)²，所以9((3m + 3) / (m - 1) + 1) = 4(m - 1)²((3m + 3) / (m - 1) - 3)²，解得m = 3 / 2，n = ±√15 / 2，符合题意，所以点P的坐标为(3 / 2,±√15 / 2).

【巩固迁移】
4.(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2,1)在双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{a^{2}-1}=1(a＞1)$上，直线l交C于P,Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求l的斜率；
(2)若$\tan\angle PAQ=2\sqrt{2}$,求$\triangle PAQ$的面积.

答案： [巩固迁移] 4.解
(1)将点A的坐标代入双曲线方程得4 / a² - 1 / (a² - 1) = 1，化简得a⁴ - 4a² + 4 = 0，得a² = 2，故双曲线C的方程为x² / 2 - y² = 1.由题易知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y = kx + m，P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)，联立直线l与双曲线C的方程并整理得(2k² - 1)x² + 4kmx + 2m² + 2 = 0，故x₁ + x₂ = -4km / (2k² - 1)，$x₁x₂ = (2m² + 2) / (2k² - 1).k_AP + k_AQ = (y₁ - 1) / (x₁ - 2) + (y₂ - 1) / (x₂ - 2) = (kx₁ + m - 1) / (x₁ - 2) + (kx₂ + m - 1) / (x₂ - 2) = 0，$化简得2kx₁x₂ + (m - 1 - 2k)(x₁ + x₂) - 4(m - 1) = 0，故2k(2m² + 2) / (2k² - 1) + (m - 1 - 2k)(-4km / (2k² - 1)) - 4(m - 1) = 0，整理得(k + 1)(m + 2k - 1) = 0，又直线l不过点A，即m + 2k - 1 ≠ 0，故k = -1.
(2)不妨设直线PA的倾斜角为θ(0 ＜ θ ＜ π / 2)，由题意知∠PAQ = π - 2θ，所以tan∠PAQ = -tan2θ = 2tanθ / (tan²θ - 1) = 2√2，解得tanθ = √2或tanθ = -√2 / 2(舍去)，由{(y₁ - 1) / (x₁ - 2) = √2, x₁² / 2 - y₁² = 1}得x₁ = (10 - 4√2) / 3，所以|AP| = √3|x₁ - 2| = 4√3×(√2 - 1) / 3，同理得x₂ = (10 + 4√2) / 3，所以|AQ| = √3|x₂ - 2| = 4√3×(√2 + 1) / 3.因为tan∠PAQ = 2√2，所以sin∠PAQ = 2√2 / 3，故$S_△PAQ = 1 / 2|AP||AQ|sin∠PAQ = 1 / 2×4√3×(√2 - 1) / 3×4√3×(√2 + 1) / 3×2√2 / 3 = 16√2 / 9.$