《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

5.设ω∈R，函数f(x)=$\begin{cases}2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6}),x\geq0,\\\frac{3}{2}x^{2}+4\omega x+\frac{1}{2},x＜0,\end{cases}$ g(x)=ωx.若f(x)在(-$\frac{1}{3}$,$\frac{\pi}{2}$)上单调递增，且函数f(x)与g(x)的图象有三个交点，则ω的取值范围是（ ）
A. ($\frac{1}{4}$,$\frac{2}{3}$]
B. ($\frac{\sqrt{3}}{3}$,$\frac{2}{3}$]
C. [$\frac{1}{4}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$)
D. [−$\frac{4}{3}$,0)∪[$\frac{1}{4}$,$\frac{2}{3}$]

答案：
对点训练
5.B [当$x\in[0,\frac{\pi}{2})$时，$\omega x+\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi\omega}{2}+\frac{\pi}{6}]$，因为$f(x)$在$(-\frac{1}{3},\frac{\pi}{2})$上单调递增，所以$\begin{cases}\frac{\pi\omega}{2}+\frac{\pi}{6}\leq\frac{\pi}{2}\\-\frac{4\omega}{3}\leq-\frac{1}{3}\\2\sin\frac{\pi}{6}\geq\frac{1}{2}\end{cases}$，解得$\frac{1}{4}\leq\omega\leq\frac{2}{3}$，
又函数$f(x)$与$g(x)$的图象有三个交点，当$x\geq0$时，$f(x)-g(x)=2\sin(\omega x+\frac{\pi}{6})-\omega x$，由$f(0)-g(0)=1＞0$，当$\omega x+\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{2}$时，$\omega x=\frac{7\pi}{3}$，此时$f(x)-g(x)=2-\frac{7\pi}{3}＜0$，结合图象，当$x\geq0$时，函数$f(x)$与$g(x)$的图象只有一个交点.

所以在$x\in(-\infty,0)$上，函数$f(x)$与$g(x)$的图象有两个交点，即方程$\frac{3}{2}x^{2}+4\omega x+\frac{1}{2}=\omega x$在$x\in(-\infty,0)$上有两个不同的实数根，即方程$3x^{2}+6\omega x + 1 = 0$在$x\in(-\infty,0)$上有两个不同的实数根，所以$\begin{cases}\Delta = 36\omega^{2}-12＞0\\-\omega＜0\\\frac{3}{2}\times0^{2}+6\omega\times0 + 1＞0\end{cases}$，解得$\omega＞\frac{\sqrt{3}}{3}$. 综上所述，$\omega$的取值范围是$(\frac{\sqrt{3}}{3},\frac{2}{3}]$. 故选B.]

必备知识　　　　强基础
知识梳理
1. 余弦定理、正弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则

答案： ①$b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$ ②$c^{2}+a^{2}-2ca\cos B$ ③$a^{2}+b^{2}-2ab\cos C$ ④$\frac{b}{\sin B}$ ⑤$\frac{c}{\sin C}$ ⑥$\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ ⑦$\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2ac}$ ⑧$\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$ ⑨$2R\sin B$ ⑩$2R\sin C$ ⑪$\frac{b}{2R}$ ⑫$\sin A:\sin B:\sin C$

2. 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

答案： ⑬一解 ⑭两解 ⑮一解 ⑯一解 ⑰无解