《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.(2022·全国乙卷)若$f(x)=\ln\vert a+\frac{1}{1 - x}\vert + b$是奇函数，则$a=$_______，$b=$_______.

答案： 答案 $-\frac{1}{2}$ $\ln2$
解析 因为函数$f(x)=\ln|a+\frac{1}{1 - x}|+b$为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由$a+\frac{1}{1 - x}\neq0$可得，$(1 - x)(a + 1 - ax)\neq0$，所以$\frac{a + 1}{a}=-1$，解得$a = -\frac{1}{2}$，即函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty)$，再由$f(0)=0$可得，$b=\ln2$，即$f(x)=\ln|-\frac{1}{2}+\frac{1}{1 - x}|+\ln2=\ln|\frac{1 + x}{1 - x}|$，在定义域内满足$f(-x)=-f(x)$，符合题意．

考点二 函数的周期性
例3 已知函数$f(x)$满足$f(x)f(x + 2)=13$，且$f(2)=2$，则$f(2024)=$（ ）
A.1
B.$\frac{13}{2}$
C.13
D.$\frac{1}{2}$

答案： B [$\because f(x)f(x + 2)=13$，$\therefore f(x + 2)=\frac{13}{f(x)}$，$\because f(x + 4)=\frac{13}{f(x + 2)}=\frac{13}{\frac{13}{f(x)}}=f(x)$，$\therefore f(x)$的周期为4，$\therefore f(2024)=f(4)=\frac{13}{f(2)}=\frac{13}{2}$．故选B．]

[巩固迁移]
4.(2024·四川绵阳高三阶段考试)若函数$f(x)=\begin{cases}2^{-x},x\leq0，\\f(x - 1)-f(x - 2),x＞0，\end{cases}$则$f(25)=$_______.

答案： 答案 -1
解析 当$x＞0$时，$f(x)=f(x - 1)-f(x - 2)$，$\therefore f(x + 1)=f(x)-f(x - 1)$，则$f(x + 1)=-f(x - 2)$，即$f(x + 3)=-f(x)$，$\therefore f(x + 6)=-f(x + 3)=f(x)$，$\therefore f(x)$的周期为6，$\therefore f(25)=f(4\times6 + 1)=f(1)=f(0)-f(-1)=2^{0}-2^{1}=-1$．

考点三 函数图象的对称性
例4 (2024·乌鲁木齐高三模拟)已知函数$f(x)=(x + 1)\ln\vert m+\frac{2}{3 - 2x}\vert + nx + n$的图象关于直线$x=-1$对称，则$m + n=$（ ）
A.$\ln\frac{1}{5}-\frac{1}{5}$
B.$\ln5-\frac{1}{5}$
C.$\ln\frac{1}{3}-\frac{1}{3}$
D.$\ln3-\frac{1}{3}$

答案： B [由题意知$x\neq\frac{3}{2}$，且$|m+\frac{2}{3 - 2x}|\neq0$．因为函数$f(x)=(x + 1)\ln|m+\frac{2}{3 - 2x}|+nx + n$的图象关于直线$x=-1$对称，则$-\frac{7}{2}$是方程$|m+\frac{2}{3 - 2x}|=0$的根，故$|m+\frac{1}{5}|=0$，解得$m = -\frac{1}{5}$，则$f(x)=(x + 1)\ln|\frac{2}{3 - 2x}-\frac{1}{5}|+nx + n$．又由$f(0)=f(-2)$，得$\ln\frac{7}{15}+n=-\ln\frac{3}{35}-n$，解得$n=\ln5$．故$f(x)=(x + 1)\ln|\frac{2}{3 - 2x}-\frac{1}{5}|+(x + 1)\ln5$，即$f(x)=(x + 1)\ln|\frac{7 + 2x}{3 - 2x}|$，函数$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq\frac{3}{2},且x\neq-\frac{7}{2}\}$，且$f(-2 - x)=(-x - 1)\ln|\frac{3 - 2x}{7 + 2x}|=(x + 1)\ln|\frac{7 + 2x}{3 - 2x}|=f(x)$，故函数$f(x)$的图象关于直线$x=-1$对称，满足题意．则$m + n=\ln5-\frac{1}{5}$．故选B．]

[巩固迁移]
5.(2024·福建福州模拟)已知函数$f(x)(x\in\mathbf{R})$满足$f(-x)=2 - f(x)$，若函数$y=\frac{x + 1}{x}$与$y=f(x)$图象的交点为$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\cdots,(x_{m},y_{m})$，则$\sum_{i = 1}^{m}(x_{i}+y_{i})=$（ ）
A.0 B.$m$ C.$2m$ D.$4m$

答案： [$\because f(x)+f(-x)=2$，$y=\frac{x + 1}{x}=1+\frac{1}{x}$，
$\therefore$函数$y = f(x)$与$y=\frac{x + 1}{x}$的图象都关于点$(0,1)$对称，$\therefore\sum_{i = 1}^{m}x_{i}=0$，$\sum_{i = 1}^{m}y_{i}=\frac{m}{2}\times2=m$，$\therefore\sum_{i = 1}^{m}(x_{i}+y_{i})=0 + m=m$．]

考向1 函数的奇偶性与单调性的综合
例5 (2023·山东鄄城第一中学高三三模)已知函数$f(x)=x^{3}+(a - 2)x^{2}+2x + b$在$[-2c - 1,c + 3]$上为奇函数，则不等式$f(2x + 1)+f(a + b + c)＞0$的解集为（ ）
A.$(-2,4]$ B.$(-3,5]$
C.$(-\frac{5}{2},2]$ D.$(-2,2]$

答案： [因为函数$f(x)=x^{3}+(a - 2)x^{2}+2x + b$在$[-2c - 1,c + 3]$上为奇函数，所以$-2c - 1+c + 3=0$，解得$c = 2$，又$f(-x)=-f(x)$，即$-x^{3}+(a - 2)x^{2}-2x + b=-x^{3}-(a - 2)x^{2}-2x - b$，所以$2(a - 2)x^{2}+2b = 0$，所以$\begin{cases}2(a - 2)=0,\\2b = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 2,\\b = 0,\end{cases}$所以$f(x)=x^{3}+2x$，$x\in[-5,5]$．由$y = x^{3}$与$y = 2x$在定义域$[-5,5]$上单调递增，得$f(x)$在定义域$[-5,5]$上单调递增，则不等式$f(2x + 1)+f(a + b + c)＞0$，即$f(2x + 1)+f(4)＞0$，等价于$f(2x + 1)＞f(-4)$，所以$\begin{cases}2x + 1＞-4,\\-5\leqslant2x + 1\leqslant5,\end{cases}$解得$-\frac{5}{2}＜x\leqslant2$，即不等式的解集为$(-\frac{5}{2},2]$．故选C．]