《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例6 （2024·黑龙江哈尔滨期末）如图1，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC = BC = 1，现将△ADC沿AC折起，得到三棱锥D' - ABC（如图2），且平面AD'C⊥平面ABC，E为D'C的中点.
（1）求证：AE⊥平面D'BC；
（2）在∠ACB的平分线上是否存在点F，使得D'F//平面ABE？若存在，求D'F的长；若不存在，请说明理由.
　　　

答案：
解
(1)证明：在□ABCD中，可得AD = BC = AC，则AD' = AC，因为E为D'C的中点，所以AE⊥D'C，因为AC⊥BC，平面AD'C⊥平面ABC，平面AD'C∩平面ABC = AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面AD'C，因为AE⊂平面AD'C，所以AE⊥BC，因为BC∩D'C = C，BC，D'C⊂平面D'BC，所以AE⊥平面D'BC.
(2)取AB的中点O，连接CO并延长至点F，使CO = OF，连接AF，D'F，BF，OE，因为BC = AC，所以射线CO是∠ACB的平分线.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
又因为E是D'C的中点，所以OE//D'F，因为OE⊂平面ABE，D'F⊄平面ABE，所以D'F//平面ABE，因为AB，FC互相平分，所以四边形ACBF为平行四边形，所以BC//AF，因为BC⊥平面AD'C，AD'⊂平面AD'C，所以AD'⊥BC，所以AF⊥AD'，又因为AF = BC = 1，AD' = AD = BC = 1，故D'F = $\sqrt{2}$.

[巩固迁移]
8.（2024·广东深圳翠园中学期末）如图，在平面五边形ABCDE中，AB//DC，∠BCD = 90°，AB = AD = 10，AE = 6，BC = 8，CD = 4，∠AED = 90°，EH⊥AD，垂足为H，将△ADE沿AD折起（如图），使得平面ADE⊥平面ABCD.
（1）求证：EH⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥C - ADE的体积；
（3）在线段BE上是否存在点M，使得MH//平面CDE？若存在，求出EM/EB的值；若不存在，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　

答案：
解
(1)证明：因为EH⊥AD，平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD = AD，EH⊂平面ADE，所以EH⊥平面ABCD.
(2)在Rt△ADE中，因为AE = 6，AD = 10，所以DE = 8，因为DE·AE = AD·EH，所以EH = $\frac{24}{5}$，因为∠BCD = 90°，BC = 8，CD = 4，所以△ACD的面积S = $\frac{1}{2}$×4×8 = 16，所以V₍C - ADE₎ = V₍E - ACD₎ = $\frac{1}{3}$S·EH = $\frac{1}{3}$×16×$\frac{24}{5}$ = $\frac{128}{5}$.
(3)解法一：过点H作HN//DE交AE于点N，过点N作NM//AB交EB于点M，连接HM.
因为AB//DC，所以MN//CD，因为CD⊂平面CDE，MN⊄平面CDE，所以MN//平面CDE，同理，NH//平面CDE，又因为MN∩NH = N，MN，NH⊂平面MNH，所以平面MNH//平面CDE.
因为MH⊂平面MNH，所以MH//平面CDE.
在Rt△AED中，EH⊥AD，所以DH·AD = DE²，又因为DE = 8，AD = 10，所以DH = $\frac{32}{5}$，因为HN//DE，所以$\frac{EN}{EA}$ = $\frac{DH}{AD}$ = $\frac{16}{25}$，又因为MN//AB，所以$\frac{EM}{EB}$ = $\frac{EN}{EA}$ = $\frac{16}{25}$，所以在线段BE上存在点M，使得MH//平面CDE，且$\frac{EM}{EB}$ = $\frac{16}{25}$.
　　　　　　　　　　　　　　　　
解法二：过点H作HG//CD交BC于点G，过点G作GM//CE交EB于点M，连接HM.
因为HG//CD，CD⊂平面CDE，HG⊄平面CDE，所以HG//平面CDE，同理，GM//平面CDE.
又因为HG∩GM = G，HG，GM⊂平面MHG，所以平面MHG//平面CDE.
因为MH⊂平面MHG，所以MH//平面CDE.
在Rt△AED中，因为EH⊥AD，所以DH·AD = DE²，又因为DE = 8，AD = 10，所以DH = $\frac{32}{5}$，因为HG//CD，所以$\frac{CG}{CB}$ = $\frac{DH}{AD}$ = $\frac{16}{25}$，因为MG//CE，所以$\frac{EM}{EB}$ = $\frac{CG}{CB}$ = $\frac{16}{25}$，所以在线段BE上存在点M，使得MH//平面CDE，且$\frac{EM}{EB}$ = $\frac{16}{25}$.