《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.（2023·山东临沂模拟）如图，已知点F为抛物线$C:y^{2}=2px(p ＞ 0)$的焦点，过点F 的动直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为$45^{\circ}$时，$\vert MN\vert = 16$。

（1）求抛物线C的方程；
（2）试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

答案： 解 设$M(x_{1},y_{1})$，$N(x_{2},y_{2})$。
(1)当直线$l$的倾斜角为$45^{\circ}$时，$l$的斜率为$1$，因为$F(\frac{p}{2},0)$，所以直线$l$的方程为$y=x-\frac{p}{2}$。由$\begin{cases}y=x-\frac{p}{2}\\y^{2}=2px\end{cases}$得$x^{2}-3px+\frac{p^{2}}{4}=0$，$\Delta＞0$。则$x_{1}+x_{2}=3p$，所以$|MN|=x_{1}+x_{2}+p=4p = 16$，解得$p = 4$，所以抛物线$C$的方程为$y^{2}=8x$。
(2)假设满足条件的点$P$存在，设$P(a,0)$，由
(1)知$F(2,0)$。显然，直线$l$的斜率不为$0$，设$l:x = my + 2$，由$\begin{cases}x = my + 2\\y^{2}=8x\end{cases}$得$y^{2}-8my - 16 = 0$，$\Delta＞0$，则$y_{1}+y_{2}=8m$，$y_{1}y_{2}=-16$。因为$k_{PM}=\frac{y_{1}}{x_{1}-a}$，$k_{PN}=\frac{y_{2}}{x_{2}-a}$，且直线$PM$，$PN$关于$x$轴对称，所以$k_{PM}+k_{PN}=0$，即$(x_{2}-a)y_{1}+(x_{1}-a)y_{2}=0$，所以$(my_{2}+2 - a)y_{1}+(my_{1}+2 - a)y_{2}=0$，即$2my_{1}y_{2}+(2 - a)(y_{1}+y_{2})=2m\times(-16)+(2 - a)\times8m = 0$，解得$a=-2$，所以存在唯一的点$P(-2,0)$，使直线$PM$，$PN$关于$x$轴对称。

例4 （2023·东北三省四城市联考暨沈阳二模）已知椭圆$C:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{2}=1(a ＞ \sqrt{2})$的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过点$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足$\vert PA\vert=\vert PB\vert$，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则$\vert OM\vert$的最小值为 （ ）
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $2\sqrt{2}$

答案： B [由题意，得$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，即$\frac{c^{2}}{a^{2}}=1-\frac{b^{2}}{a^{2}}=1-\frac{2}{a^{2}}=\frac{2}{3}$，则$a^{2}=6＞2$，过$P(\frac{3}{2},\frac{1}{2})$的直线与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，且满足$|PA| = |PB|$，则$P$为线段$AB$的中点，设$A(x_{A},y_{A})$，$B(x_{B},y_{B})$，所以$x_{A}+x_{B}=3$，$y_{A}+y_{B}=1$，又$\frac{x_{A}^{2}}{6}+\frac{y_{A}^{2}}{2}=1$，$\frac{x_{B}^{2}}{6}+\frac{y_{B}^{2}}{2}=1$，则$\frac{x_{A}^{2}-x_{B}^{2}}{6}+\frac{y_{A}^{2}-y_{B}^{2}}{2}=0$，即$\frac{(x_{A}+x_{B})(x_{A}-x_{B})}{6}=-\frac{(y_{A}+y_{B})(y_{A}-y_{B})}{2}$，所以$\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}=-\frac{x_{A}+x_{B}}{3(y_{A}+y_{B})}=-1$，故直线$AB$的方程为$y-\frac{1}{2}=-(x-\frac{3}{2})$，即$x + y - 2 = 0$，所以$|OM|$的最小值为$\frac{|-2|}{\sqrt{1 + 1}}=\sqrt{2}$。故选B.]