《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 双曲线的标准方程和简单几何性质

答案： $F_1(-c,0),F_2(c,0)$ $F_1(0,-c),F_2(0,c)$ $|F_1F_2| = 2c$ $x\leq -a$ $x\geq a$ 坐标轴 原点 $A_1(-a,0),A_2(a,0)$ $A_1(0,-a),A_2(0,a)$ $A_1A_2$ $2a$ $2b$ $a$ $b$ $(1,+\infty)$ $a^2 + b^2$

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1) 到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. （ ）
(2) 方程$\frac{x^{2}}{m}-\frac{y^{2}}{n}=1(mn＞0)$表示焦点在$x$轴上的双曲线. （ ）
(3) 双曲线$\frac{x^{2}}{m^{2}}-\frac{y^{2}}{n^{2}}=1(m＞0,n＞0)$的渐近线方程是$\frac{x}{m}\pm\frac{y}{n}=0$. （ ）
(4) 等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于$\sqrt{2}$. （ ）

答案： 1.
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√

2. 小题热身
(1)（人教 A 选择性必修第一册习题 3.2 T3 改编）双曲线$2y^{2}-x^{2}=1$的渐近线方程是（ ）
A. $y=\pm\frac{1}{2}x$ B. $y=\pm2x$
C. $y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$ D. $y=\pm\sqrt{2}x$

答案： 2.
(1)C [依题意知，双曲线$\frac{y^2}{\frac{1}{2}} - x^2 = 1$的焦点在$y$轴上，实半轴长$a = \frac{\sqrt{2}}{2}$，虚半轴长$b = 1$，所以双曲线$2y^2 - x^2 = 1$的渐近线方程是$y = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}x$.]

(2) 若双曲线$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（ ）
A. $\sqrt{5}$ B. 5 C. $\sqrt{2}$ D. 2

答案：
(2)A [由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即$b = 2a$，又$a^2 + b^2 = c^2$，$\therefore 5a^2 = c^2$.$\therefore e^2 = \frac{c^2}{a^2} = 5$，$\therefore e = \sqrt{5}$.故选 A.]

(3)（人教 A 选择性必修第一册习题 3.2 T1 改编）设$P$是双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{20}=1$上一点，$F_1$，$F_2$分别是双曲线的左、右焦点，若$|PF_1| = 9$，则$|PF_2|=$________.

答案：
(3)答案 17 解析 根据双曲线的定义得$||PF_1| - |PF_2|| = 8$，因为$|PF_1| = 9$，所以$|PF_2| = 1$或 17.又$|PF_2|\geq c - a = 2$，故$|PF_2| = 17$.

(4)（人教 A 选择性必修第一册习题 3.2 T6 改编）对称轴为坐标轴，且经过点$P(5,3)$的等轴双曲线的标准方程为________.

答案：
(4)答案 $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1$ 解析 设双曲线方程为$x^2 - y^2 = \lambda(\lambda\neq 0)$，则$\lambda = 5^2 - 3^2 = 16$，所以双曲线的方程为$x^2 - y^2 = 16$，即$\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{16} = 1$.