《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

训练 2.（2023·四川南充模拟）已知函数$f(x)=ax-\sin x$.
（1）若函数$f(x)$为增函数，求实数$a$的取值范围；
（2）求证：当$x＞0$时，$\mathrm{e}^{x}＞2\sin x$.

答案： 解 （1）因为$f(x)=ax-\sin x$，
所以$f^{\prime}(x)=a-\cos x$，
由函数$f(x)$为增函数，得$f^{\prime}(x)=a-\cos x\geqslant0$恒成立，
即$a\geqslant\cos x$在$R$上恒成立，
因为$y = \cos x\in[-1,1]$，所以$a\geqslant1$，
即实数$a$的取值范围是$[1,+\infty)$.
（2）证明：由（1）知，当$a = 1$时，$f(x)=x-\sin x$为增函数，
当$x＞0$时，由$f(x)＞f(0)=0$，得$x＞\sin x$，
要证当$x＞0$时，$e^{x}＞2\sin x$，现在证当$x＞0$时，$e^{x}＞2x$，
即证$e^{x}-2x＞0$在$(0,+\infty)$上恒成立，
设$g(x)=e^{x}-2x(x＞0)$，则$g^{\prime}(x)=e^{x}-2$，
当$0＜x＜\ln 2$时，$g^{\prime}(x)＜0$，当$x＞\ln 2$时，$g^{\prime}(x)＞0$，
所以$g(x)$在$(0,\ln 2)$上单调递减，在$(\ln 2,+\infty)$上单调递增，
所以$g(x)_{\min}=g(\ln 2)=e^{\ln 2}-2\ln 2=2(1-\ln 2)＞0$，
所以$g(x)\geqslant g(\ln 2)＞0$，所以$e^{x}＞2x$成立，
故当$x＞0$时，$e^{x}＞2\sin x$.

例3 求证：$\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}x + 1-\frac{\mathrm{e}\ln x}{x}＞0(x＞0)$.

答案： 证明 原不等式等价于$e^{x}-ex + 1＞\frac{e\ln x}{x}(x＞0)$.令$F(x)=e^{x}-ex + 1(x＞0)$，$F^{\prime}(x)=e^{x}-e$，当$x\in(0,1)$时，$F^{\prime}(x)＜0$，$F(x)$单调递减；当$x\in(1,+\infty)$时，$F^{\prime}(x)＞0$，$F(x)$单调递增，
所以$F(x)_{\min}=F(1)=e - e + 1 = 1$.令$G(x)=\frac{e\ln x}{x}(x＞0)$，
$G^{\prime}(x)=\frac{e(1-\ln x)}{x^{2}}$.当$x\in(0,e)$时，$G^{\prime}(x)＞0$，$G(x)$单调递增；
当$x\in(e,+\infty)$时，$G^{\prime}(x)＜0$，$G(x)$单调递减，所以$G(x)_{\max}=G(e)=1$，等号不同时取得，所以$F(x)＞G(x)$，即$e^{x}-ex + 1＞\frac{e\ln x}{x}$，故原不等式成立.

训练 3.已知函数$g(x)=x\ln x$. 证明：当$x＞0$时，$g(x)＞\frac{x}{\mathrm{e}^{x}}-\frac{2}{\mathrm{e}}$.

答案： 证明 因为$g(x)=x\ln x$，所以$g^{\prime}(x)=1+\ln x$，
令$g^{\prime}(x)=0$，得$x=\frac{1}{e}$，所以当$x\in(0,\frac{1}{e})$时，$g^{\prime}(x)＜0$；当$x\in(\frac{1}{e},+\infty)$时，$g^{\prime}(x)＞0$，所以函数$g(x)$在$(0,\frac{1}{e})$上单调递减，在$(\frac{1}{e},+\infty)$上单调递增，所以当$x＞0$时，$g(x)_{\min}=g(\frac{1}{e})=-\frac{1}{e}$.令$\varphi(x)=\frac{x}{e^{x}}-\frac{2}{e}$，则$\varphi^{\prime}(x)=\frac{1 - x}{e^{x}}$，所以当$0＜x＜1$时，$\varphi^{\prime}(x)＞0$，当$x＞1$时，$\varphi^{\prime}(x)＜0$，所以$\varphi(x)$在$(0,1)$上单调递增，在$(1,+\infty)$上单调递减，所以$\varphi(x)_{\max}=\varphi(1)=-\frac{1}{e}$.又两个等号不同时成立，故当$x＞0$时，$g(x)＞\frac{x}{e^{x}}-\frac{2}{e}$.