《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3. 全称量词命题与存在量词命题及其否定

答案：  12.任意 13.存在 14.∀ 15.∃ 16.∃x∈M， ¬p(x) 17.∀x∈M，¬p(x) 

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件。　(　　)
(2)已知集合A，B，$A\cup B = A\cap B$的充要条件是$A = B$。　(　　)
(3)“$\exists x\in M,p(x)$”与“$\forall x\in M,\neg p(x)$”的真假性相反。　(　　)

答案：
(1)√
(2)√
(3)√

2. 小题热身
(1)(2024·四川绵阳南山中学模拟)“$\sin\alpha=\sin\beta$”是“$\alpha=\beta$”的________条件。(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)
(2)已知p：$x ＞ a$是q：$2 ＜ x ＜ 3$的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________。
(3)(人教A必修第一册习题1.5 T6改编)已知“若$x ＞ 1$，则$2x + 1 ＞ \lambda$”是假命题，则实数$\lambda$的取值范围是________。
(4)设命题p：$\exists x\in\mathbf{R},x^{2}-2x + m - 3 = 0$；命题q：$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}-2(m - 5)x + m^{2}+19\neq0$，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为______。

答案：
(1)答案 必要不充分
解析 若α = $\frac{\pi}{6}$，β = $\frac{5\pi}{6}$，则满足sinα = sinβ，而不满足α = β；当α = β时，sinα = sinβ一定成立，所以“sinα = sinβ”是“α = β”的必要不充分条件.
(2)答案 (-∞,2]
解析 由已知可得{x|2＜x＜3}⊊{x|x＞a}，所以a≤2.
(3)答案 (3,+∞)
解析 因为“若x＞1，则2x + 1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x + 1≤λ”是真命题.因为当x＞1时，2x + 1＞3，所以实数λ的取值范围是(3,+∞).
(4)答案 ($\frac{3}{5}$,4]
解析 若命题p：∃x∈R，x² - 2x + m - 3 = 0为真命题，则Δ = 4 - 4(m - 3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x² - 2(m - 5)x + m² + 19≠0为真命题，则Δ = 4(m - 5)² - 4(m² + 19)＜0，解得m∈($\frac{3}{5}$,+∞).又p，q均为真命题，所以实数m的取值范围为{m|m≤4}∩{m|m＞$\frac{3}{5}$} = ($\frac{3}{5}$,4].

例1　　(1)(2023·全国甲卷)“$\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\beta = 1$”是“$\sin\alpha+\cos\beta = 0$”的　　　　　　　　　(　　　)
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 充要条件
D. 既不是充分条件也不是必要条件

答案： B[当$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta = 1$时，例如$\alpha=\frac{\pi}{2},\beta = 0$，但$\sin\alpha+\cos\beta\neq0$，即$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta = 1$推不出$\sin\alpha+\cos\beta = 0$；当$\sin\alpha+\cos\beta = 0$时，$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta=(-\cos\beta)^{2}+\sin ^{2}\beta = 1$，即$\sin\alpha+\cos\beta = 0$能推出$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta = 1$. 综上可知，“$\sin ^{2}\alpha+\sin ^{2}\beta = 1$”是“$\sin\alpha+\cos\beta = 0$”的必要条件但不是充分条件. 故选B.]

(2)(2023·河北石家庄模拟)已知$a,b,c\in\mathbf{R}$，则“$a = b = c$”是“$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + bc + ac$”的
　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C　[若$a = b = c$，则$a^{2}+b^{2}+c^{2}=3a^{2}$，$ab + bc + ac = 3a^{2}$，即$a = b = c\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + bc + ac$，满足充分性；若$a^{2}+b^{2}+c^{2}=ab + bc + ac$，则$2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}=2ab + 2bc + 2ac$，所以$a^{2}-2ab + b^{2}+b^{2}-2bc + c^{2}+a^{2}-2ac + c^{2}=0$，即$(a - b)^{2}+(b - c)^{2}+(a - c)^{2}=0$，则$a = b = c$，满足必要性. 故选C.]

(3)(多选)下列四个条件中，能成为$x＞y$的充分不必要条件的是　　　　　　　　　　(　　　)
A. $xc^{2}＞yc^{2}$
B. $\frac{1}{x}＜\frac{1}{y}＜0$
C. $|x|＞|y|$
D. $\ln x＞\ln y$

答案： ABD[对于A，若$xc^{2}＞yc^{2}$，则$c^{2}\neq0$，则$x＞y$，反之$x＞y$，当$c = 0$时得不出$xc^{2}＞yc^{2}$，所以“$xc^{2}＞yc^{2}$”是“$x＞y$”的充分不必要条件，故A符合题意. 对于B，由$\frac{1}{x}＜\frac{1}{y}＜0$可得$y＜x＜0$，即能推出$x＞y$，但$x＞y$不能推出$\frac{1}{x}＜\frac{1}{y}＜0$（因为$x,y$的正负不确定），所以“$\frac{1}{x}＜\frac{1}{y}＜0$”是“$x＞y$”的充分不必要条件，故B符合题意. 对于C，由$|x|＞|y|$可得$x^{2}＞y^{2}$，则$(x + y)(x - y)＞0$，不能推出$x＞y$；由$x＞y$也不能推出$|x|＞|y|$（如$x = 1,y=-2$），所以“$|x|＞|y|$”是“$x＞y$”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意. 对于D，若$\ln x＞\ln y$，则$x＞y＞0$，反之$x＞y$得不出$\ln x＞\ln y$，所以“$\ln x＞\ln y$”是“$x＞y$”的充分不必要条件，故D符合题意.]