《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)当$x\in(0,+\infty)$时，函数$y = |f(x)|$与$y = f(|x|)$的图象相同. （ ）
(2)函数$y = af(x)$与$y = f(ax)(a＞0$，且$a\neq1)$的图象相同. （ ）
(3)若函数$y = f(x)$满足$f(1 + x)=f(1 - x)$，则函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)√

2. 小题热身
(1)函数$f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}$的大致图象是 （ ）

答案： A [当$x＞0$时，$f(x)＞0$；当$x＜0$时，$f(x)＜0$，可排除 B，C，D. 故选 A.]

(2)已知函数$f(x)$的部分图象如图所示，则函数$f(x)$的解析式可能为 （ ）

A. $f(x)=\frac{\ln x}{x}-x + 1$
B. $f(x)=\frac{\ln x}{x}+x - 1$
C. $f(x)=x\ln x - x + 1$
D. $f(x)=x\ln x + x - 1$

答案： C [当$x = 2$时，$\frac{\ln 2}{2}-2 + 1=\ln\sqrt{2}-1＜0$，$\frac{\ln 2}{2}+2 - 1=\ln\sqrt{2}+1＞1$，$2\ln 2+2 - 1＞1$，故排除 A，B，D. 故选 C.]

(3)为了得到函数$y=\lg\frac{x + 3}{10}$的图象，只需把函数$y=\lg x$的图象上所有的点向左平移______个单位长度，再向下平移________个单位长度.

答案： 答案 3 1
解析 因为$y=\lg\frac{x + 3}{10}=\lg(x + 3)-1$，所以$y=\lg x$的图象$\xrightarrow{向左平移 3 个单位长度}y=\lg(x + 3)$的图象$\xrightarrow{向下平移 1 个单位长度}y=\lg(x + 3)-1$的图象.

(4)(2024·山西太原五中高三模拟)若函数$f(x)=\begin{cases}ax + b,x ＜ -1\\\ln(x + a),x\geqslant -1\end{cases}$的图象如图所示，则$f(-3)=$________.

答案： 答案 -1
解析 由$f(-1)=\ln(-1 + a)=0$，得$a = 2$，又直线$y = ax + b$过点$(-1,3)$，则$2\times(-1)+b = 3$，解得$b = 5$. 故当$x＜-1$时，$f(x)=2x + 5$，则$f(-3)=2\times(-3)+5=-1$.

例1　　作出下列函数的图象.
(1)$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$；(2)$y = |\log_2(x + 1)|$；
(3)$y = \frac{2x - 1}{x - 1}$；(4)$y = x^2 - 2|x| - 1$.

答案：
解 （1）作出$y = (\frac{1}{2})^x(x\geq0)$的图象，再将$y = (\frac{1}{2})^x(x\geq0)$的图象以$y$轴为对称轴翻折到$y$轴的左侧，即得$y = (\frac{1}{2})^{|x|}$的图象，如图1中实线部分.
          
（2）将函数$y=\log_2x$的图象向左平移1个单位长度，再将$x$轴下方的部分沿$x$轴翻折上去，即可得到函数$y = |\log_2(x + 1)|$的图象，如图2中实线部分.
　　　　
（3）因为$y=\frac{2x - 1}{x - 1}=2+\frac{1}{x - 1}$，故函数图象可由$y=\frac{1}{x}$的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3.
　　　　
（4）$y=\begin{cases}x^2 - 2x - 1,x\geq0\\x^2 + 2x - 1,x\lt0\end{cases}$，且函数为偶函数，先用描点法作出$[0,+\infty)$上的图象，再根据对称性作出$(-\infty,0)$上的图象，即得函数$y = x^2 - 2|x| - 1$的图象，如图4.