《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
（1）函数$y = 2^{x}$的函数值比$y = x^{2}$的函数值大.（ ）
（2）在$(0,+\infty)$上，随着$x$的增大，$y = a^{x}(a＞1)$的增长速度会超过并远远大于$y = x^{n}(n＞0)$和$y=\log_{a}x(a＞1)$的增长速度.（ ）
（3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.（ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×

2. 小题热身
（1）已知$f(x)=x^{2},g(x)=2^{x},h(x)=\log_{2}x$，当$x\in(4,+\infty)$时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是（ ）
A. $f(x)＞g(x)＞h(x)$
B. $g(x)＞f(x)＞h(x)$
C. $g(x)＞h(x)＞f(x)$
D. $f(x)＞h(x)＞g(x)$

答案： B [在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，+∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x).故选B.]

（2）已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示. 假设某商人持有资金 120 万元，他可以在$t_{1}$至$t_{4}$的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计). 如果他在$t_{4}$时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（ ）
A. 40 万元 B. 60 万元 C. 80 万元 D. 120 万元
　　　　　　　　　　

答案： D [当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6 = 20(万份)，在t₂时刻全部卖出，此时获利20×2 = 40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120 + 40)÷4 = 40(万份)，在t₄时刻全部卖出，此时获利40×2 = 80(万元).故该商人共获利40 + 80 = 120(万元).故选D.]

（3）在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为 7 克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第 5 分钟末测得的未溶解糖块的质量为 3.5 克，同时小明发现可以用指数型函数$S = ae^{-kt}(a,k$为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中$S$(单位：克)代表$t$分钟末未溶解糖块的质量，则$k=$（ ）
A. $\ln 2$
B. $\ln 3$
C. $\frac{\ln 2}{5}$
D. $\frac{\ln 3}{5}$

答案： C [由题意可得，当t = 0时，S = a = 7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5 = 7e⁻⁵ᵏ，解得k = $\frac{\ln 2}{5}$.故选C.]

（4）某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为$y=\begin{cases}4x,1\leq x\leq10,\\2x + 10,10＜x＜100,\\1.5x,x\geq100,\end{cases}x\in\mathbf{N}^{*}$，其中$x$代表拟录用人数，$y$代表面试人数，若面试人数为 160，则该公司拟录用人数为______.

答案： 答案 75
解析 令y = 160，若4x = 160，则x = 40＞10，不符合题意；若2x + 10 = 160，则x = 75，符合题意；若1.5x = 160，则x = $\frac{320}{3}\notin N^{*}$，不符合题意.故拟录用人数为75.

例1　　中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关. 经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图. 观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？　　　　　　　　　(　　　)

A. $y = mx^{2}+n(m＞0)$
B. $y = ma^{x}+n(m＞0,0 ＜ a ＜ 1)$
C. $y = ma^{x}+n(m＞0,a＞1)$
D. $y = m\log_{a}x + n(m＞0,a＞0,a\neq1)$
[课堂笔记]
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[通性通法]
(1)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象;当根据题意不易建立函数模型时,则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案.
(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养.

答案： B [由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m＞0，0＜a＜1. 故选B.]