《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

考向1　累加法
例3　　(2024·江苏镇江一中高三月考)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=a_{n}+\ln(1+\frac{1}{n})$，则$a_{n}=$（ ）
A. $2+\ln n$ B. $2+(n - 1)\ln n$ C. $2+n\ln n$ D. $1+n+\ln n$
[课堂笔记]　　____________________________

答案： A

3. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{2}=2$，$a_{n + 2}-2a_{n + 1}+a_{n}=\frac{1}{2}$，则$a_{100}=$________.

答案： $\frac{5051}{2}$

考向2　累乘法
例4　　(2024·湖北黄冈质检)在数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{n + 1}=\frac{n}{n + 2}a_{n}(n\in N^{*})$，且$a_{1}=4$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=$________.
[课堂笔记]
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[通性通法]
形如$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=f(n)$的数列，常令$n$分别为$1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n - 1$，代入$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}}=f(n)$，再把所得的$(n - 1)$个等式相乘，利用$a_{n}=a_{1}\cdot\frac{a_{2}}{a_{1}}\cdot\frac{a_{3}}{a_{2}}\cdots\frac{a_{n}}{a_{n - 1}}(n\geq2)$即可求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式.
提醒：利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到$\frac{a_{2}}{a_{1}}$，漏掉$a_{1}$而导致错误；二是根据连乘求出$a_{n}$之后，不注意检验$a_{1}$是否成立.

答案： $\frac{8}{n(n + 1)}$

4. 数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{1}=1$，$a_{n}=a_{1}+2a_{2}+3a_{3}+\cdots+(n - 1)a_{n - 1}(n\geq2,n\in N^{*})$，则$a_{6}=$________.

答案： 360

考向3　构造法
例5　　(1)在数列$\{ a_{n}\}$中，已知$a_{1}=2$，$a_{n + 1}=\frac{a_{n}}{3a_{n}+1}(n\in N^{*})$，则$a_{n}$的表达式为________.

答案：
(1)$a_{n}=\frac{2}{6n - 5}$；

(2)(2024·江西九江模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$中，$a_{1}=3$，$a_{n + 1}=3a_{n}+2\times3^{n + 1}$，$n\in N^{*}$，则数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为________.

答案：
(2)$a_{n}=(2n - 1)\times3^{n}$

(3)(2023·四川师大附中二诊)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=2a_{n}+\frac{1}{2}$，且$\{ a_{n}\}$的前$8$项和为$761$，则$a_{1}=$________.
[课堂笔记]　　______________________________

答案：
(3)$\frac{5}{2}$