《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例3　　(1)已知5x²y²+y⁴=1(x,y∈R)，则x²+y²的最小值是（ ）
A.$\frac{1}{4}$　　
　B.$\frac{4}{5}$　　
　C.$\frac{2\sqrt{5}}{5}$　
　D.2

答案： B [因为5x²y² + y⁴ = 1，所以x² = (1 - y⁴)/(5y²)，又x²≥0，所以y²∈(0,1]，所以x² + y² = y²+(1 - y⁴)/(5y²)=(4y⁴ + 1)/(5y²)=(1/5)(4y² + 1/y²)≥(1/5)×2√(4y²×1/y²)=4/5，当且仅当4y² = 1/y²，即y² = 1/2，x² = 3/10时取等号，所以x² + y²的最小值是4/5. 故选B.]

(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x＞0,y＞0,且$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2y}$=1,则2x十y的最小值为（ ）
A.2　　　　　　　　
　B.2$\sqrt{3}$
C.$\frac{1}{2}$+$\sqrt{3}$　　　　　　
　D.4+2$\sqrt{3}$

答案： C [设x + 1 = a，x + 2y = b，则x = a - 1，y = (b - a + 1)/2，且a＞0，b＞0，则1/a + 1/b = 1，2x + y = 2(a - 1)+(b - a + 1)/2=(3a + b)/2 - 3/2，而3a + b=(3a + b)(1/a + 1/b)=4 + 3a/b + b/a≥4 + 2√[(3a/b)×(b/a)]=4 + 2√3，当且仅当3a/b = b/a，即a = (3 + √3)/3，b = √3 + 1时，等号成立，则2x + y≥(4 + 2√3)/2 - 3/2 = 1/2 + √3. 故选C.]

5.(2023·江苏南京高三调研)设a≥0,b≥0,且2$\sqrt{a}$+b=1,则$\frac{b}{a}$的最小值为__________.

答案： 答案 0
解析 因为2√a + b = 1，所以a = [ - (b - 1)/2]²=(b - 1)²/4，所以a/b = (b - 1)²/(4b)=b/4 + 1/(4b) - 1/2≥2√[(b/4)×(1/4b)] - 1/2 = 0，当且仅当a = 0，b = 1时取等号.

6.(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a,b满足2a十b=1,则$\frac{a}{2−2a}$+$\frac{b}{2−b}$的最小值是________.

答案： 答案 2√2/3 - 1/2
解析 设u = 2 - 2a，v = 2 - b，则a = (2 - u)/2，b = 2 - v，则u + v = 3(u＞0，v＞0)，所以a/(2 - 2a)+b/(2 - b)=(1 - (1/2)u)/u+(2 - v)/v=1/u + 2/v - 3/2=(1/3)(u + v)(1/u + 2/v) - 3/2=(1/3)(3 + v/u + 2u/v) - 3/2≥(1/3)(3 + 2√[(v/u)×(2u/v)]) - 3/2=1 + 2√2/3 - 3/2 = 2√2/3 - 1/2，当且仅当v = 6 - 3√2，u = 3√2 - 3时，等号成立，所以a/(2 - 2a)+b/(2 - b)的最小值为2√2/3 - 1/2.

例4　　(多选)设a＞1,b＞1,且ab−(a+b)=1,那么（ ）
A.a十b有最小值2$\sqrt{2}$+2
B.a十b有最大值2$\sqrt{2}$−2
C.ab有最大值3−2$\sqrt{2}$
D.ab有最小值3+2$\sqrt{2}$

答案： AD [
∵a＞1，b＞1，
∴ab - 1 = a + b≥2√ab，当a = b时取等号，即ab - 2√ab - 1≥0，解得√ab≥√2 + 1，
∴ab≥(√2 + 1)² = 3 + 2√2，
∴ab有最小值3 + 2√2. 又ab≤[(a + b)/2]²，当a = b时取等号，
∴1 = ab - (a + b)≤[(a + b)/2]² - (a + b)，即(a + b)² - 4(a + b)≥4，则[(a + b) - 2]²≥8，解得a + b - 2≥2√2，即a + b≥2√2 + 2，
∴a + b有最小值2√2 + 2. 故选AD.]

7.正实数x,y满足4x²+y²+xy=1,则xy的最大值为________,2x十y的最大值为________.

答案： 答案 1/5 2√10/5
解析
∵1 - xy = 4x² + y²≥4xy，
∴5xy≤1，
∴xy≤1/5，当且仅当y = 2x，即x = √10/10，y = √10/5时取等号.
∵4x² + y² + xy = 1，
∴(2x + y)² - 3xy = 1，
∴(2x + y)² - 1 = 3xy=(3/2)×2x×y≤(3/2)[(2x + y)/2]²，即(2x + y)² - 1≤(3/8)(2x + y)²，
∴(2x + y)²≤8/5，
∴2x + y≤2√10/5，当且仅当2x = y，即x = √10/10，y = √10/5时取等号.

例5　　(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x,不等式$\frac{2}{x²+4}$≤$\frac{2a+1}{x}$恒成立,则实数a的取值范围为（ ）
A.[0,+∞)　　　　　
　B.[-$\frac{1}{4}$,+∞)
C.[$\frac{1}{4}$,+∞)　　　　
　D.[$\frac{1}{2}$,+∞)

答案： B [依题意得，当x＞0时，2a + 1≥2x/(x² + 4)=2/(x + 4/x)恒成立，又x + 4/x≥4，当且仅当x = 2时取等号，所以2/(x + 4/x)的最大值为1/2，所以2a + 1≥1/2，解得实数a的取值范围为[ - 1/4，+∞). 故选B.]