《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

10. 已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n + 1}=2a_{n}+1$，$a_{1}=1$，若$b_{n}=\lambda a_{n}-n^{2}+4n$为递增数列，则$\lambda$的取值范围为（ ）
A. $(\frac{1}{8},+\infty)$
B. $(\frac{1}{4},+\infty)$
C. $(\frac{3}{8},+\infty)$
D. $(\frac{1}{2},+\infty)$

答案： C

考向3　数列的最值
例8　　(2023·四川成都模拟)已知数列$\{ a_{n}\}$满足$a_{n}=2n(n + 1)(\frac{10}{13})^{n}$，则数列$\{ a_{n}\}$的最大项为（ ）
A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项
[课堂笔记]
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[通性通法]
　　求数列的最大项与最小项的常用方法
　单调性法　　　　根据数列的单调性判断
　不等式法　利用$\begin{cases}a_{n}\geq a_{n - 1}\\a_{n}\geq a_{n + 1}\end{cases}(n\geq2)$确定最大项，利用$\begin{cases}a_{n}\leq a_{n - 1}\\a_{n}\leq a_{n + 1}\end{cases}(n\geq2)$确定最小项

答案： D

11. (2024·河南洛阳一高质检)若数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项积$b_{n}=1-\frac{2}{7}n$，则$a_{n}$的最大值与最小值之和为（ ）
A. $-\frac{1}{3}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $2$
D. $\frac{7}{3}$

答案： C

1. 等差数列的有关概念
　(1) 定义: 一般地，如果一个数列从第____项起，每一项与它的前一项的差都等于____，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母____表示，定义表达式为$a_{n}-a_{n - 1}=d$（常数）（$n\geqslant2$，$n\in\mathbf{N}^{*}$）.

答案： 2 ，同一个常数， $d$

　(2) 等差中项: 若三个数$a$，$A$，$b$成等差数列，则$A$叫做$a$与$b$的等差中项，且有$2A =$____.
提醒: 在等差数列$\{ a_{n}\}$中，从第2项起，每一项都是它前后两项的等差中项，即$\{ a_{n}\}$成等差数列$\Leftrightarrow a_{n + 1}+a_{n - 1}=2a_{n}$（$n\geqslant2$）.

答案： $a + b$