《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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1.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：
①如果m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，那么m//n；
②如果m//n，n⊥α，那么m⊥α；
③如果α⊥β，m⊂α，n⊂β，那么m⊥n；
④如果α∩β=m，m⊥n，n⊂α，那么n⊥β.
其中正确命题的个数为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

答案： D [对于①，如果m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，那么m//n或m与n相交，故①错误；对于②，如果m//n，n⊥α，由线面垂直的性质可知m⊥α，故②正确；对于③，如果α⊥β，m⊂α，n⊂β，那么m⊥n或m//n或m与n相交(不垂直)或m与n异面(不垂直)，故③错误；对于④，如果α∩β = m，m⊥n，n⊂α，那么n⊥β或n与β相交(不垂直)，故④错误. 故选D.]

例2 （1）（2023·天津河西期末）如图，圆柱OO'中，AA'是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A.BC⊥平面A'AC B.BC⊥平面A'AB
C.AC⊥平面A'BC D.AC⊥平面A'AB
　　　　　　　　　　　　　

答案： A [对于A，依题意AA'⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA'⊥BC，又AB是底面圆的直径，所以BC⊥AC，又AA'∩AC = A，AA'，AC⊂平面A'AC，所以BC⊥平面A'AC，故A正确；对于B，显然BC与AB不垂直，则BC不可能垂直于平面A'AB，故B错误；对于C，显然AC与A'C不垂直，则AC不可能垂直于平面A'BC，故C错误；对于D，显然AC与AB不垂直，则AC不可能垂直于平面A'AB，故D错误. 故选A.]

（2）（2024·四川绵阳模拟）如图，在三棱锥P - ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB = EA，且PA⊥AC，PC⊥BC.
求证：BC⊥平面PAC.
　　　　　　　　　　　　　

答案： 证明
∵在△AEB中，D是AB的中点，EB = EA，
∴ED⊥AB，
∵E是PB的中点，D是AB的中点，
∴ED//PA，
∴PA⊥AB，
又PA⊥AC，AB∩AC = A，AB，AC⊂平面ABC，
∴PA⊥平面ABC，
∵BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC = P，PA，PC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.

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2.（2023·江苏金陵中学三模）如图，圆锥DO中，AE为底面圆O的直径，AE = AD，△ABC为底面圆O的内接正三角形，圆锥的高DO = 18，点P为线段DO上一个动点.当PO = 3√6时，证明：PA⊥平面PBC.
　　　　　　　　　　　　

答案： 证明 连接DE，因为AE = AD，AD = DE，
所以△ADE是正三角形，则∠DAO = $\frac{\pi}{3}$，
又DO⊥底面圆O，AE⊂底面圆O，
所以DO⊥AE，
在Rt△AOD中，DO = 18，
所以AO = $\frac{DO}{\sqrt{3}}$ = 6$\sqrt{3}$.
因为△ABC是正三角形，
所以AB = AO×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2 = 6$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$ = 18，
AP = $\sqrt{AO^{2}+PO^{2}}$ = 9$\sqrt{2}$，BP = AP，
所以AP² + BP² = AB²，即AP⊥BP，
同理可证AP⊥PC，
又BP∩PC = P，BP，PC⊂平面PBC，
所以PA⊥平面PBC.

例3 （1）已知直线l∩平面α = O，A∈l，B∈l，A∉α，B∉α，且OA = AB.若AC⊥平面α，垂足为C，BD⊥平面α，垂足为D，AC = 1，则BD =（ ）
A.2
B.1
C.3/2
D.1/2

答案：
A [因为AC⊥平面α，BD⊥平面α，
所以AC//BD. 连接OD，则O，C，D三点
共线，所以$\frac{OA}{OB}$ = $\frac{AC}{BD}$. 因为OA = AB，所以$\frac{OA}{OB}$ = $\frac{1}{2}$. 因为AC = 1，所以BD = 2. 故选A.]
　　　　　　　　　　　　　　　　　

（2）（2024·山东临沂一中阶段考试）在正三棱柱ABC - A1B1C1中，如图所示，A1A = AB，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点，求证：EF⊥GB.
　　　　　　　　　　　　　

答案：
证明 连接B₁G，在等边三角形A₁B₁C₁中，因为G是A₁C₁的中点，
所以B₁G⊥A₁C₁.
因为B₁B⊥平面A₁B₁C₁，A₁C₁⊂平面A₁B₁C₁，
所以B₁B⊥A₁C₁.
因为B₁G∩B₁B = B₁，B₁G，B₁B⊂平面B₁BG，
所以A₁C₁⊥平面B₁BG，
因为GB⊂平面B₁BG，
所以A₁C₁⊥GB，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，
所以EF//AC，所以EF//A₁C₁，
所以EF⊥GB.