《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）两个平面的法向量所成的角就是这两个平面所成的角. （ ）
（2）直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. （ ）
（3）平面α的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量. （ ）
（4）直线l的一个方向向量为a = （-1，2，1），平面α的一个法向量为n = （-1，-1，1），l⊄α，则l//α. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
（1）（人教A选择性必修第一册1.4.1练习T1改编）已知直线l的一个方向向量为a = （-3，2，5），平面α的一个法向量为b = （1，x，-1），若l//α，则x = （ ）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案： A [因为$l//\alpha$，所以$a\perp b$，即$a\cdot b = 0$，即$-3 + 2x - 5 = 0$，解得$x = 4$. 故选 A.]

（2）已知两条异面直线的方向向量分别是m = （-2，1，2），n = （3，-2，1），则这两条异面直线所成的角θ满足（ ）
A. sinθ = - $\frac{\sqrt{14}}{7}$
B. sinθ = $\frac{\sqrt{14}}{7}$
C. cosθ = $\frac{\sqrt{14}}{7}$
D. cosθ = - $\frac{\sqrt{14}}{7}$

答案： C [因为$\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right]$，所以$\cos\theta = |\cos\langle m,n\rangle| = \frac{|m\cdot n|}{|m||n|} = \frac{6}{3\times\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{7}$，$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta} = \frac{\sqrt{35}}{7}$. 故选 C.]

（3）若平面α的法向量为a = （3，-1，2），平面β的法向量为n = （-6，2，-4），则（ ）
A. α//β
B. α⊥β
C. α与β相交但不垂直
D. 无法确定

答案： A [由题意，得$n = -2a$，则$n// a$，$a\not\subset\beta$. 故选 A.]

（4）已知A（1，2，0），B（3，1，2），C（2，0，4），则点C到直线AB的距离为（ ）
A. 2
B. $\sqrt{5}$
C. 2$\sqrt{3}$
D. 2$\sqrt{5}$

答案： B [因为$\overrightarrow{AB}=(2,-1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(1,-2,4)$，所以$\overrightarrow{AC}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影数量为$\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|} = \frac{2 + 2 + 8}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = 4$. 设点$C$到直线$AB$的距离为$d$，则$d = \sqrt{|\overrightarrow{AC}|^2 - 4^2} = \sqrt{1 + 4 + 16 - 16} = \sqrt{5}$. 故选 B.]

例1 如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，
AD⊥AB，AB//DC，AD = DC = AP = 2，AB = 1，E为棱PC的中点. 证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE//平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
[课堂笔记]
______________________________

答案：
证明　依题意,以A为原点建立空间直角坐标系(如图),可得B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由E为棱PC的中点,得E(1,1,1).
(1)因为$\overrightarrow{BE}=(0,1,1)$，$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{DC}=0$，所以BE⊥DC.
(2)因为$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$为平面PAD的一个法向量，
而$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{AB}=(0,1,1)\cdot(1,0,0)=0$，
所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，
所以BE//平面PAD.
(3)由
(2)知平面PAD的一个法向量为$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{PD}=(0,2, - 2)$，$\overrightarrow{DC}=(2,0,0)$，
设平面PCD的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，
则$\begin{cases}\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{PD}=0\\\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{DC}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2y - 2z = 0\\2x = 0\end{cases}$，
取y = 1，得$\boldsymbol{n}=(0,1,1)$．
因为$\boldsymbol{n}\cdot\overrightarrow{AB}=(0,1,1)\cdot(1,0,0)=0$，
所以$\boldsymbol{n}\perp\overrightarrow{AB}$．
所以平面PCD⊥平面PAD.