《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

考点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用
例5 （1）已知sin($\frac{\pi}{6}+\alpha$) = $\frac{1}{3}$，且α∈($\frac{\pi}{3}$，π)，则cos($\frac{5\pi}{6}-\alpha$)的值为 （ ）
A. $\frac{1}{3}$ B. -$\frac{1}{3}$
C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ D. -$\frac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： 例5
(1)C [由$\sin(\frac{5\pi}{6}-\alpha)=\sin[\pi-(\frac{\pi}{6}+\alpha)]=\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\frac{1}{3}$，而$\alpha\in(\frac{\pi}{3},\pi)$，
∴$\frac{5\pi}{6}-\alpha\in(-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2})$，
∴$\cos(\frac{5\pi}{6}-\alpha)=\sqrt{1-\sin^{2}(\frac{5\pi}{6}-\alpha)}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. 故选C.]

（2）（2023·辽宁葫芦岛模拟）若$\frac{\sin(\pi-\theta)+\cos(\theta - 2\pi)}{\sin\theta+\cos(\pi+\theta)}$ = $\frac{1}{2}$，则tanθ = ________.
[课堂笔记]
______________________________

答案：
(2)答案 -3
解析 因为$\frac{\sin(\pi-\theta)+\cos(\theta - 2\pi)}{\sin\theta+\cos(\pi+\theta)}=\frac{\sin\theta+\cos\theta}{\sin\theta-\cos\theta}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{\tan\theta + 1}{\tan\theta - 1}=\frac{1}{2}$，解得$\tan\theta=-3$.

【巩固迁移】
5.已知cos167° = m，则tan193° = （ ）
A. $\sqrt{1 - m^{2}}$
B. $\frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$
C. -$\frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$
D. -$\frac{m}{\sqrt{1 - m^{2}}}$

答案： [巩固迁移] 5. C [$\tan193^{\circ}=\tan(360^{\circ}-167^{\circ})=-\tan167^{\circ}=-\frac{\sin167^{\circ}}{\cos167^{\circ}}=-\frac{\sin167^{\circ}}{m}$，因为$\cos167^{\circ}=m$，所以$\sin167^{\circ}=\sqrt{1 - m^{2}}$，所以$\tan193^{\circ}=-\frac{\sqrt{1 - m^{2}}}{m}$. 故选C.]

6.已知cosα = -$\frac{5}{13}$，且α∈($\frac{\pi}{2}$，π)，则$\frac{\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha+\pi)}$ = ________.

答案： 6. 答案 $\frac{13}{12}$
解析
∵$\cos\alpha=-\frac{5}{13}$，$\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$，
∴$\sin\alpha=\sqrt{1 - \cos^{2}\alpha}=\frac{12}{13}$，
∴$\frac{\tan(\alpha+\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha+\pi)}=\frac{\sin(\alpha+\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha+\pi)\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})}=\frac{\cos\alpha}{-\cos\alpha(-\sin\alpha)}=\frac{1}{\sin\alpha}=\frac{13}{12}$.

1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
（1）公式$C_{(\alpha - \beta)}$：$\cos(\alpha - \beta)=$____________
（2）公式$C_{(\alpha + \beta)}$：$\cos(\alpha + \beta)=$____________
（3）公式$S_{(\alpha - \beta)}$：$\sin(\alpha - \beta)=$____________
（4）公式$S_{(\alpha + \beta)}$：$\sin(\alpha + \beta)=$____________
（5）公式$T_{(\alpha - \beta)}$：$\tan(\alpha - \beta)=$____________
（6）公式$T_{(\alpha + \beta)}$：$\tan(\alpha + \beta)=$____________

答案： $\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$
@@$\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$
@@$\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$
@@$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$
@@$\frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$
@@$\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$