《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

3.（2024·山东日照一中质检）过点$A(1,4)$的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A. $x - y + 3 = 0$
B. $x + y - 5 = 0$
C. $4x - y = 0$或$x + y - 5 = 0$
D. $4x - y = 0$或$x - y + 3 = 0$

答案： 3.D　[解法一：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为$y = 4x$，即$4x - y = 0$；当直线不过原点时，设直线方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1(a\neq0)$，因为直线过点$A(1,4)$，所以$\frac{1}{a}-\frac{4}{a}=1$，解得$a = -3$，此时直线方程为$x - y + 3 = 0$。综上，直线方程为$4x - y = 0$或$x - y + 3 = 0$。故选D。
解法二：易知直线斜率不存在或直线斜率为$0$时，不符合题意。设直线方程为$y - 4 = k(x - 1)(k\neq0)$，当$x = 0$时，$y = 4 - k$，当$y = 0$时，$x = 1-\frac{4}{k}$，由题意知$1-\frac{4}{k}+4 - k = 0$，解得$k = 4$或$k = 1$，即直线方程为$4x - y = 0$或$x - y + 3 = 0$。故选D。]

4. 求适合下列条件的直线方程.
（1）经过点$A(-1,-3)$，倾斜角等于直线$y = 3x$的倾斜角的2倍；
（2）经过点$B(3,4)$，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；
（3）已知直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{n}=(2,3)$，且$l$过点$A(-4,3)$.

答案： 4.解　
(1)设直线$y = 3x$的倾斜角为$\alpha$，则所求直线的倾斜角为$2\alpha$。
因为$\tan\alpha = 3$，所以$\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}=-\frac{3}{4}$。
又直线经过点$A(-1,-3)$，因此所求直线方程为$y + 3 = -\frac{3}{4}(x + 1)$，即$3x + 4y + 15 = 0$。
(2)由题意，可知所求直线的斜率为$\pm1$。
又过点$B(3,4)$，由点斜式，得所求直线方程为$y - 4 = \pm(x - 3)$，即$x - y + 1 = 0$或$x + y - 7 = 0$。
(3)解法一：因为直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{n}=(2,3)$，所以直线$l$的斜率$k = \frac{3}{2}$，故直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{3}{2}(x + 4)$，即$3x - 2y + 18 = 0$。
解法二：设$P(x,y)$是直线$l$上的任意一点（不同于$A$），则$\overrightarrow{AP}=(x + 4,y - 3)$，因为直线$l$的一个方向向量为$\boldsymbol{n}=(2,3)$，所以$3(x + 4)-2(y - 3)=0$，所以直线$l$的方程为$y - 3 = \frac{3}{2}(x + 4)$，即$3x - 2y + 18 = 0$。

例3 （2024·四川成都七中诊断考试）已知直线$l$过点$M(2,1)$，且分别与$x$轴、$y$轴的正半轴交于$A$，$B$两点，当$|MA|\cdot|MB|$最小时，直线$l$的方程为________.

答案： 例3　答案　$x + y - 3 = 0$
解析　设$A(a,0)$，$B(0,b)$，则$a\gt0$，$b\gt0$，直线$l$的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$，所以$\frac{2}{a}+\frac{1}{b}=1$。$|\overrightarrow{MA}|\cdot|\overrightarrow{MB}|=-\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=-(a - 2,-1)\cdot(-2,b - 1)=2(a - 2)+b - 1 = 2a + b - 5=(2a + b)\cdot(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})-5=\frac{2b}{a}+\frac{2a}{b}\geqslant4$，当且仅当$a = b = 3$时取等号，此时直线$l$的方程为$x + y - 3 = 0$。

5. 若直线$mx + ny + 1 = 0(m\gt0,n\gt0)$经过点$(-2,-1)$，则$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为（ ）
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2

答案： 5.B　[因为直线$mx + ny + 1 = 0(m\gt0,n\gt0)$经过点$(-2,-1)$，所以$-2m - n + 1 = 0$，即$2m + n = 1(m\gt0,n\gt0)$。所以$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=(\frac{1}{m}+\frac{2}{n})(2m + n)=4+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}\geqslant4 + 2\sqrt{\frac{n}{m}\cdot\frac{4m}{n}}=8$，当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{4m}{n}$且$2m + n = 1$，即$\begin{cases}m=\frac{1}{4}\\n=\frac{1}{2}\end{cases}$时取等号，所以$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}$的最小值为$8$。故选B。]