《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

[巩固迁移]
5.若函数$f(x)=ax^{2}+(a - 3)x + 1$在区间$[-1,+\infty)$上单调递减，则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $[-3,0)$
B. $(-\infty,-3]$
C. $[-2,0]$
D. $[-3,0]$

答案： D［当$a = 0$时，$f(x)=-3x + 1$在$[-1,+\infty)$上单调递减，满足题意；当$a\neq0$时，$f(x)$图象的对称轴为直线$x=\frac{3 - a}{2a}$。由$f(x)$在$[-1,+\infty)$上单调递减，知$\begin{cases}a＜0\\\frac{3 - a}{2a}\leqslant - 1\end{cases}$，解得$-3\leqslant a＜0$。综上，实数$a$的取值范围为$[-3,0]$。故选D。］

例5　　已知函数$f(x)=ax^{2}+2ax + 1$在区间$[-1,2]$上有最大值4，则实数$a$的值为_______.

答案： 答案$\frac{3}{8}$或$-3$
解析 $f(x)=a(x + 1)^{2}+1 - a$。当$a = 0$时，函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上的值为常数$1$，不符合题意，舍去；当$a＞0$时，函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上单调递增，最大值为$f(2)=8a + 1 = 4$，解得$a=\frac{3}{8}$；当$a＜0$时，函数$f(x)$在区间$[-1,2]$上单调递减，最大值为$f(-1)=1 - a = 4$，解得$a = -3$。综上可知，实数$a$的值为$\frac{3}{8}$或$-3$。

[巩固迁移]
6.设关于$x$的方程$x^{2}-2mx + 2 - m = 0(m\in\mathbf{R})$的两个实数根分别是$\alpha,\beta$，则$\alpha^{2}+\beta^{2}+5$的最小值为_______.

答案： 答案 7
解析 由题意得$\begin{cases}\alpha+\beta = 2\\\alpha\beta = 2 - m\end{cases}$，且$\Delta = 4m^{2}-4(2 - m)\geqslant0$，解得$m\leqslant - 2$或$m\geqslant1$，所以$\alpha^{2}+\beta^{2}+5=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta + 5 = 4m^{2}+2m + 1$，令$f(m)=4m^{2}+2m + 1$，而$f(m)$图象的对称轴为直线$m=-\frac{1}{4}$，且$m\leqslant - 2$或$m\geqslant1$，所以$f(m)_{\min}=f(1)=7$。

1. 根式
　(1) 如果$x^{n}=a$，那么____叫做$a$的$n$次方根，其中$n＞1$，且$n\in\mathbf{N}^{*}$.
　(2) 式子$\sqrt[n]{a}$叫做____，其中$n$叫做根指数，$a$叫做被开方数.
　(3) $(\sqrt[n]{a})^{n}=$____.
　当$n$为奇数时，$\sqrt[n]{a^{n}}=$____；
　当$n$为偶数时，$\sqrt[n]{a^{n}} = |a| = \begin{cases} a,a\geqslant0, \\ -a,a＜0. \end{cases}$

答案： ①$x$ ②根式 ③$a$ ④$a$

2. 分数指数幂
　正数的正分数指数幂，$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}(a ＞ 0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n＞1)$.
　正数的负分数指数幂，$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}(a ＞ 0,m,n\in\mathbf{N}^{*},n＞1)$.
　$0$的正分数指数幂等于____，$0$的负分数指数幂没有意义.

答案： ⑤$0$

3. 指数幂的运算性质
　$a^{r}a^{s}=$____；$(a^{r})^{s}=$____；$(ab)^{r}=$____$(a ＞ 0,b ＞ 0,r,s\in\mathbf{R})$.

答案： ⑥$a^{r + s}$ ⑦$a^{r}$ ⑧$a^{r}b^{r}$