《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

8.在等腰三角形ABC中,AB=AC,若AC边上的中线BD的长为3,则△ABC面积的最大值是（ ）
A.6　　　
　B.12　　
　C.18　　
　D.24

答案：
A [设AB = AC = 2m，BC = 2n，因为∠ADB = π - ∠CDB，所以(m² + 9 - 4m²)/(6m)= - (m² + 9 - 4n²)/(6m)，整理得m² = 9 - 2n². 设△ABC的面积为S，则S = (1/2)BC×√[AC² - (1/2BC)²]=(1/2)×2n×√(4m² - n²)=3n√(4 - n²)=3√[n²(4 - n²)]≤3×(n² + 4 - n²)/2 = 6，当且仅当n = √2时，等号成立. 故选A.]

例6　　网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x(万件)与投入实体店体验安装的费用t(万元)之间满足函数关系式x=3-$\frac{2}{t+1}$.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元.

答案： 答案 37.5
解析 由题意知t = 2/(3 - x) - 1(1＜x＜3)，设该公司的月利润为y万元，则y = (32×150% + t/(2x))x - 32x - 3 - t=16x - t/2 - 3=16x - 1/(3 - x)+1/2 - 3=45.5 - [16(3 - x)+1/(3 - x)]≤45.5 - 2√16 = 37.5，当且仅当x = 11/4时取等号，即最大月利润为37.5万元.

9.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10g黄金，售货员先将5g的砝码放在天平左盘中,取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡;再将5g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡;最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为mg,则（ ）
A.m＞10　　　　　　　B.m=10
C.m＜10　　　　　　　D.以上都有可能

答案： A [由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx = 5a，ay = 5b，
∴x = 5a/b，y = 5b/a，
∴x + y = 5a/b + 5b/a = 5(a/b + b/a)≥5×2√[(a/b)×(b/a)] = 10，当且仅当a/b = b/a，即a = b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x + y＞10. 因此顾客实际购得的黄金克数m＞10. 故选A.]