《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 函数的极值
(1)函数的极小值
函数$y = f(x)$在点$x = a$处的函数值$f(a)$比它在点$x = a$附近其他点的函数值都小，$f'(a)=0$；而且在点$x = a$附近的左侧______，右侧______，则______叫做函数$y = f(x)$的极小值点，$f(a)$叫做函数$y = f(x)$的极小值.
(2)函数的极大值
函数$y = f(x)$在点$x = b$处的函数值$f(b)$比它在点$x = b$附近其他点的函数值都大，$f'(b)=0$；而且在点$x = b$附近的左侧______，右侧______，则______叫做函数$y = f(x)$的极大值点，$f(b)$叫做函数$y = f(x)$的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为______，极小值和极大值统称为______.

答案： $f'(x)＜0$ $f'(x)＞0$ $a$ $f'(x)＞0$ $f'(x)＜0$ $b$ 极值点 极值

2. 函数的最大(小)值
(1)函数$f(x)$在区间$[a,b]$上有最值的条件
如果在区间$[a,b]$上函数$y = f(x)$的图象是一条______的曲线，那么它必有最大值和最小值.
(2)求$y = f(x)$在区间$[a,b]$上的最大(小)值的步骤
①求函数$y = f(x)$在区间$(a,b)$上的______；
②将函数$y = f(x)$的各极值与______比较，其中最大的一个是______，最小的一个是______.

答案： 连续不断 极值 端点处的函数值$f(a),f(b)$ 最大值 最小值

诊断自测
1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极小值一定是函数的最小值.(　　　)
(2)函数的极小值一定不是函数的最大值.(　　　)
(3)函数$y = f'(x)$的零点是函数$y = f(x)$的极值点.(　　　)

答案：
(1)×
(2)√
(3)×

2. 小题热身
(1)(人教A选择性必修第二册5.3.2例5改编)函数$f(x)=2x - x\ln x$的极值是(　　　)
A.$\frac{1}{e}$
B.$\frac{2}{e}$
C. e
D.$e^2$

答案：
(1)C $[f'(x)=1 - \ln x$,由$f'(x)＞0$,得$0＜x＜e$;由$f'(x)＜0$,得$x＞e$.所以$f(x)$在$(0,e)$上单调递增,在$(e,+\infty)$上单调递减,所以$f(x)$在$x = e$处取得极大值,$f(e)=e$. 故选 C.]

(2)(北师大版选择性必修第二册7.2例5改编)若商品的年利润$y$(单位：万元)与年产量$x$(单位：百万件)的函数关系式为$y=-x^3 + 27x + 123(x＞0)$，则获得最大利润时的年产量为(　　　)
A. 1百万件
B. 2百万件
C. 3百万件
D. 4百万件

答案：
(2)C $[y'=-3x^{2}+27=-3(x + 3)(x - 3)$,当$0＜x＜3$时,$y'＞0$;当$x＞3$时,$y'＜0$. 所以函数在$(0,3)$上单调递增,在$(3,+\infty)$上单调递减,所以当$x = 3$时,该商品的年利润最大. 故选 C.]