《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
3.(2024·广东部分地市高三模拟)若集合$A = \{ x|\frac{x + 3}{x + 1}\leqslant 0\},B = \{ x|2x^{2} - (2a + 1)x + a\leqslant 0\}$,且$A\cap B\neq\varnothing$,则实数$a$的取值范围为 （ ）
A. $[-3,-1]$ B. $[-3,-1)$
C. $(-\infty,-1)$ D. $(-\infty,-1]$

答案： C　[依题意，得$A = \left\{x\mid\dfrac{x + 3}{x + 1}\leqslant 0\right\} = \{ x\mid - 3\leqslant x ＜ - 1\}$，方程$2x^{2}-(2a + 1)x + a = 0$，即$(2x - 1)(x - a) = 0$，解得$x = \dfrac{1}{2}$或$x = a$. 当$a ＞ \dfrac{1}{2}$时，$B=\left[\dfrac{1}{2},a\right]$，此时$A\cap B = \varnothing$，不符合题意；当$a = \dfrac{1}{2}$时，$B=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}$，此时$A\cap B = \varnothing$，不符合题意；当$-1\leqslant a ＜ \dfrac{1}{2}$时，$B=\left[a,\dfrac{1}{2}\right]$，此时$A\cap B = \varnothing$，不符合题意；当$a ＜ - 1$时，$B=\left[a,\dfrac{1}{2}\right]$，此时$A\cap B\neq\varnothing$，符合题意. 综上可得，实数$a$的取值范围为$(-\infty,-1)$. 故选C.]

考点二　三个二次之间的关系
例4　若不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$\{ x|-1 ＜ x ＜ 2\}$,则不等式$a(x^{2} + 1) + b(x - 1) + c ＞ 2ax$的解集是 （ ）
A. $\{ x|0 ＜ x ＜ 3\}$ B. $\{ x|x ＜ 0$或$x ＞ 3\}$
C. $\{ x|1 ＜ x ＜ 3\}$ D. $\{ x|-1 ＜ x ＜ 3\}$
[课堂笔记]
　______________________________

答案： A　[由$a(x^{2}+1)+b(x - 1)+c ＞ 2ax$，得$ax^{2}+(b - 2a)x+(a + c - b) ＞ 0$ ①. 又不等式$ax^{2}+bx + c ＞ 0$的解集为$\{ x\mid - 1 ＜ x ＜ 2\}$，所以$a ＜ 0$，且$\begin{cases}(-1)+2 = -\dfrac{b}{a},\\(-1)\times 2 = \dfrac{c}{a},\end{cases}$即$\begin{cases}\dfrac{b}{a} = - 1,\\\dfrac{c}{a} = - 2\end{cases}$ ②. 将①两边同除以$a$，得$x^{2}+\left(\dfrac{b}{a}-2\right)x+\left(1+\dfrac{c}{a}-\dfrac{b}{a}\right) ＜ 0$ ③. 将②代入③，得$x^{2}-3x ＜ 0$，解得$0 ＜ x ＜ 3$. 故选A.]

【巩固迁移】
4.已知函数$y = x^{2} + ax + b(a,b\in R)$的最小值为0，若关于$x$的不等式$x^{2} + ax + b ＜ c$的解集为$\{ x|m ＜ x ＜ m + 4\}$,则实数$c$的值为 （ ）
A. 9
B. 8
C. 6
D. 4

答案： D　[由题意得$\dfrac{4b - a^{2}}{4} = 0$，$\therefore b = \dfrac{a^{2}}{4}$，又不等式$x^{2}+ax + b ＜ c$的解集为$\{ x\mid m ＜ x ＜ m + 4\}$，$\therefore$方程$x^{2}+ax+\dfrac{a^{2}}{4}-c = 0$的根为$m$，$m + 4$，即$m + m + 4 = - a$，解得$m = \dfrac{-a - 4}{2}$，$\therefore m+\dfrac{a}{2} = - 2$，又$m^{2}+am+\dfrac{a^{2}}{4}-c = 0$，$\therefore c = m^{2}+am+\dfrac{a^{2}}{4}=\left(m+\dfrac{a}{2}\right)^{2}=4$. 故选D.]

考向1　在R上的恒成立问题
例5　关于$x$的不等式$mx^{2} - mx + m + 1 ＞ 0$恒成立，则$m$的取值范围为________.
[课堂笔记]　　______________________________

答案： 答案　$[0,+\infty)$
解析　当$m = 0$时，$1 ＞ 0$成立；当$m\neq 0$时，$\begin{cases}m ＞ 0,\\\Delta = m^{2}-4m(m + 1) ＜ 0,\end{cases}$解得$m ＞ 0$，所以$m\geqslant 0$，即$m$的取值范围为$[0,+\infty)$.

【巩固迁移】
5.若不等式$(a - 2)x^{2} + 2(a - 2)x - 4\geqslant 0$的解集为$\varnothing$,则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $\{ a|a ＜ -2$或$a\geqslant 2\}$
B. $\{ a|-2 ＜ a ＜ 2\}$
C. $\{ a|-2 ＜ a\leqslant 2\}$
D. $\{ a|a ＜ 2\}$

答案： C　[由题意得不等式$(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 4 ＜ 0$的解集为$\mathbf{R}$，即不等式$(a - 2)x^{2}+2(a - 2)x - 4 ＜ 0$对一切实数$x$恒成立. 当$a - 2 = 0$，即$a = 2$时，$-4 ＜ 0$，符合题意；当$a - 2 ＜ 0$，即$a ＜ 2$时，由$\Delta = [2(a - 2)]^{2}+4\times 4\times (a - 2) ＜ 0$，解得$-2 ＜ a ＜ 2$，即实数$a$的取值范围是$\{ a\mid - 2 ＜ a\leqslant 2\}$. 故选C.]

考向2　在给定区间上的恒成立问题
例6　　(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)设函数$f(x) = mx^{2} - mx - 1$,若对于$x\in[1,3],f(x) ＞ -m + 2$恒成立，则实数$m$的取值范围为________.
[课堂笔记]　______________________________

答案： 答案　$(3,+\infty)$
解析　由$f(x) ＞ - m + 2$，得$mx^{2}-mx - 1 ＞ - m + 2$，即$m(x^{2}-x + 1) ＞ 3$，当$x\in[1,3]$时，$x^{2}-x + 1\in[1,7]$，所以$m ＞ \dfrac{3}{x^{2}-x + 1}$在$x\in[1,3]$上恒成立，只需$m ＞ \left(\dfrac{3}{x^{2}-x + 1}\right)_{\max}$，当$x = 1$时，$x^{2}-x + 1$有最小值，为$1$，则$\dfrac{3}{x^{2}-x + 1}$有最大值，为$3$，则$m ＞ 3$，故实数$m$的取值范围为$(3,+\infty)$.