《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

9. 复合函数的导数
一般地，对于由函数$y = f(u)$和$u = g(x)$复合而成的函数$y = f(g(x))$，它的导数与函数$y = f(u)$，$u = g(x)$的导数间的关系为$y_{x}^{\prime}=$______________，即$y$对$x$的导数等于$y$对$u$的导数与$u$对$x$的导数的乘积.

答案： $y_{u}^{\prime} \cdot u_{x}^{\prime}$

诊断自测
1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
(1)$f^{\prime}(x_{0})$是函数$y = f(x)$在$x = x_{0}$附近的平均变化率. （ ）
(2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. （ ）
(3)$f^{\prime}(x_{0})=[f^{\prime}(x_{0})]^{\prime}$. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×

2. 小题热身
(1)（人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编）一质点运动的方程为$s = 5 - 3t^{2}$，若该质点在时间段$[1,1+\Delta t]$内相应的平均速度为$-3\Delta t - 6$，则该质点在$t = 1$时的瞬时速度是（ ）
A. -3
B. 3
C. 6
D. -6

答案：
(1)D

(2)设$f(x)=e\sqrt{x}+\ln 2$的导函数为$f^{\prime}(x)$，则$f^{\prime}(1)$的值为（ ）
A. 0
B. e
C. $\frac{e + 1}{2}$
D. $\frac{e}{2}$

答案：
(2)D

(3)（人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编）已知函数$f(x)=x(2024+\ln x)$，若$f^{\prime}(x_{0}) = 2025$，则$x_{0}=$（ ）
A. $e^{2}$
B. 1
C. $\ln 2$
D. e

答案：
(3)B

(4)（人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编）余弦曲线$y = \cos x$在点$(\frac{\pi}{2},0)$处的切线方程为______.

答案：
(4)答案 $y=-x+\frac{\pi}{2}$
解析 因为$y = \cos x$，则$y^{\prime}=-\sin x$，可得曲线$y = \cos x$在点$(\frac{\pi}{2},0)$处的切线斜率为$k = -1$，则曲线$y = \cos x$在点$(\frac{\pi}{2},0)$处的切线方程为$y=-x+\frac{\pi}{2}$。

(5)求下列函数的导数.
①$y = 2^{x}+\log_{2}x$；②$y = \frac{x^{3}-1}{\sin x}$；
③$y = (3x + 1)^{2}\ln(3x)$；④$y = 3^{x}e^{-3x}$.

答案：
(5)解 ①$y^{\prime}=2^{x}\ln 2+\frac{1}{x\ln 2}$。
②$y^{\prime}=\frac{(x^{3}-1)^{\prime}\sin x - (\sin x)^{\prime}(x^{3}-1)}{\sin^{2}x}=\frac{3x^{2}\sin x - \cos x(x^{3}-1)}{\sin^{2}x}$。
③$y^{\prime}=[(3x + 1)^{2}]^{\prime}\ln(3x)+(3x + 1)^{2}\cdot[\ln(3x)]^{\prime}=6(3x + 1)\cdot\ln(3x)+\frac{(3x + 1)^{2}}{x}$。
④$y^{\prime}=(3^{x})^{\prime}e^{-3x}+3^{x}(e^{-3x})^{\prime}=3^{x}e^{-3x}\ln 3 - 3\cdot3^{x}e^{-3x}$。