《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2.(多选)(2024·江苏连云港灌南高级中学、灌云高级中学高三联考)若$10^{a}=4，10^{b}=25$，则
　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $a + b = 2$　　　　　　B. $b - a = 1$
　
C. $ab＞(\lg2)^{2}$　　　　D. $b - a＞\lg6$

答案： ACD[由$10^{a}=4$，$10^{b}=25$，得$a=\lg 4$，$b=\lg 25$，所以$a + b=\lg 4+\lg 25=\lg 100 = 2$，故A正确；因为$b - a=\lg 25-\lg 4=\lg\frac{25}{4}＜\lg 10 = 1$，故B错误；因为$ab=\lg 4\cdot\lg 25＞\lg 2\cdot\lg 2=(\lg 2)^{2}$，故C正确；因为$b - a=\lg 25-\lg 4=\lg\frac{25}{4}＞\lg\frac{24}{4}=\lg 6$，故D正确. 故选ACD.]

3.(2024·江苏南通高三教学质量监测)已知树木样本中碳 - 14含量与树龄之间的函数关系式为$k = k_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{n}{5730}}$，其中$k_{0}$为树木最初生长时的碳 - 14含量，$n$(单位:年)为树龄，通过测定发现某古树样品中碳 - 14含量为$0.6k_{0}$，则该古树的树龄约为________万年.(精确到0.01，$\lg3\approx0.48$，$\lg5\approx0.70$)

答案： 答案　0.42
　解析　由题意，得$0.6k_{0}=k_{0}(\frac{1}{2})^{\frac{n}{5730}}$，即$(\frac{1}{2})^{\frac{n}{5730}}=\frac{3}{5}$，两边取对数，得$\frac{n}{5730}\lg\frac{1}{2}=\lg\frac{3}{5}$，变形，得$n=\frac{\lg 5-\lg 3}{\lg 2}\times5730=\frac{\lg 5-\lg 3}{1 - \lg 5}\times5730$，因为$\lg 3\approx0.48$，$\lg 5\approx0.70$，所以$n\approx\frac{0.70 - 0.48}{1 - 0.70}\times5730 = 4202$，故该古树的树龄约为0.42万年.

例2　　(1)已知函数$f(x)=ax + b$
　的图象如图所示,则函数$y=\log_{a}(|x|+b)$的图象可以是
　　　　　　　　　　　(　　　)
　
　

答案： D[由函数$f(x)=ax + b$的图象，可知$0 ＜ a ＜ 1$，$-1 ＜ b ＜ 0$，函数$y = g(x)=\log_{a}(|x|+b)$的定义域为$(-\infty,b)\cup(-b,+\infty)$，且$g(-x)=\log_{a}(|-x|+b)=\log_{a}(|x|+b)=g(x)$，即函数$y=\log_{a}(|x|+b)$为偶函数. 又函数$y=\log_{a}(|x|+b)=\begin{cases}\log_{a}(x + b),x ＞ -b\\\log_{a}(-x + b),x ＜ b\end{cases}$，所以$y=\log_{a}(|x|+b)$在$(-b,+\infty)$上单调递减，在$(-\infty,b)$上单调递增. 故选D.]

(2)设$x_{1},x_{2},x_{3}$均为实数,且$\mathrm{e}^{-x_{1}}=\ln x_{1}$，$\mathrm{e}^{-x_{2}}=\ln(x_{2}+1)$，$\mathrm{e}^{-x_{3}}=\lg x_{3}$，则　　　(　　　)
　
A. $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}$　　　　B. $x_{1}＜x_{3}＜x_{2}$
　
C. $x_{2}＜x_{3}＜x_{1}$　　　　D. $x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$

答案：
D　[画出函数$y = (\frac{1}{e})^{x}$，$y=\ln x$，$y=\ln(x + 1)$，$y=\lg x$的图象，如图所示，数形结合，知$x_{2}＜x_{1}＜x_{3}$.
　　　　　　　　　　　　　 ]

4. 若函数$f(x)=(k - 1)a^{x}-a^{-x}(a＞0，且a\neq1)$
　在$\mathbf{R}$上既是奇函数,又是减函数,则$g(x)=\log_{a}|x + k|$的大致图象是　　　　　　　(　　　)
　

答案： B[因为函数$f(x)=(k - 1)a^{x}-a^{-x}(a ＞ 0$，且$a\neq1)$在$\mathbf{R}$上是奇函数，所以$f(0)=0$，所以$k = 2$，经检验，$k = 2$满足题意. 又因为$f(x)$为减函数，所以$0 ＜ a ＜ 1$，则$g(x)=\log_{a}|x + 2|(0 ＜ a ＜ 1)$，由$g(-4 - x)=\log_{a}|-4 - x + 2|=\log_{a}|x + 2|=g(x)$，可知$g(x)$的图象关于直线$x = - 2$对称，排除C，D；又$g(0)=\log_{a}|0 + 2|=\log_{a}2 ＜ 0$，可知A错误. 故选B.]

5. 已知函数$f(x)=|\log_{2}x|$，实数$a,b$满足$0 ＜ a ＜ b$，且$f(a)=f(b)$，若$f(x)$在$[a^{2},b]$上的最大值为2，则$\frac{1}{a}+b=$________.

答案：
答案　4
　解析　$\because f(x)=|\log_{2}x|$，$\therefore f(x)$的图象如图所示，又$f(a)=f(b)$且$0 ＜ a ＜ b$，$\therefore 0 ＜ a ＜ 1$，$b ＞ 1$且$ab = 1$，$\therefore a^{2}＜a$，当$a^{2}\leqslant x\leqslant b$时，由图可知，$f(x)_{\max}=f(a^{2})=|\log_{2}a^{2}|=-2\log_{2}a = 2$，$\therefore a=\frac{1}{2}$，$\therefore b = 2$，$\therefore\frac{1}{a}+b = 4$.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例3　　(1)若$a = 0.5^{0.3}，b=\log_{0.5}3，c=\log_{0.3}0.2$，则　　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $a＞b＞c$　　　　　　B. $a＞c＞b$
　
C. $b＞a＞c$　　　　　　D. $c＞a＞b$

答案： D[因为$0 ＜ a = 0.5^{0.3}＜0.5^{0}=1$，$b=\log_{0.5}3 ＜ 0$，$c=\log_{0.3}0.2＞\log_{0.3}0.3 = 1$，所以$c ＞ a ＞ b$. 故选D.]

(2)若$a=\log_{2}3+\log_{3}2，b = 2，c=\frac{1}{\log_{\pi}2}+\log_{3}\pi$，则　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
　
A. $a＞b＞c$　　　　　　B. $c＞a＞b$
　
C. $c＞b＞a$　　　　　　D. $b＞c＞a$

答案： B　[因为$a=\log_{2}3+\log_{2}2＞2\sqrt{\log_{2}3\cdot\log_{2}2}=2$，所以$a ＞ b$. 因为$f(x)=\log_{2}x$，$g(x)=\log_{3}x$单调递增，所以$c=\log_{2}\pi+\log_{3}\pi＞\log_{2}3+\log_{3}2$，所以$c ＞ a$. 综上，$c ＞ a ＞ b$. 故选B.]