《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

【巩固迁移】
7.（2023·江西南昌模拟）已知曲线$y = x + \ln x$在点$(1,1)$处的切线与曲线$y = ax^{2}+(a + 2)x + 1$相切，则$a =$（ ）
A. 4
B. 8
C. 2
D. 1

答案： [巩固迁移] 7.B [$y = x+\ln x$的导数为$y'=1+\frac{1}{x}$，曲线$y = x+\ln x$在$x = 1$处的切线斜率$k = 2$，则曲线$y = x+\ln x$在$x = 1$处的切线方程为$y - 1 = 2(x - 1)$，即$y = 2x - 1$. 由于切线与曲线$y = ax^{2}+(a + 2)x + 1$相切，联立$\begin{cases}y = ax^{2}+(a + 2)x + 1\\y = 2x - 1\end{cases}$，得$ax^{2}+ax + 2 = 0$，又$a\neq0$，两曲线相切有一切点，所以$\Delta=a^{2}-8a = 0$，解得$a = 8$. 故选B.]

必备知识　　　　强基础
知识梳理
1. 函数的单调性与导数的关系

答案：  1.单调递增 2.单调递减 3.常数函数

2. 利用导数判断函数$y = f(x)$单调性的步骤
第一步，确定函数的______；
第二步，求出导数$f'(x)$的______；
第三步，用$f'(x)$的零点将$f(x)$的定义域划分为若干个区间，列表给出$f'(x)$在各区间上的正负，由此得出函数$y = f(x)$在定义域内的单调性。

答案： 定义域 零点