《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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1.(2023·北京高考)若$xy\neq0$，则“$x + y = 0$”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： C[因为$xy\neq0$，且$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$，所以$x^{2}+y^{2}=-2xy$，即$x^{2}+y^{2}+2xy = 0$，即$(x + y)^{2}=0$，所以$x + y = 0$. 所以“$x + y = 0$”是“$\frac{y}{x}+\frac{x}{y}=-2$”的充要条件. 故选C.]

2.(多选)(2023·广东广州华南师大附中模拟)函数$f(x)=\sin(2x+\varphi+\frac{\pi}{6})$为偶函数的一个充分条件是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\varphi=-\frac{5\pi}{6}$
B. $\varphi=-\frac{2\pi}{3}$
C. $\varphi=\frac{\pi}{6}$
D. $\varphi=\frac{\pi}{3}$

答案： BD[由题意得$\varphi+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbf{Z}$，解得$\varphi=k\pi+\frac{\pi}{3},k\in\mathbf{Z}$，令$k=-1$，则$\varphi=-\frac{2\pi}{3}$；令$k = 0$，则$\varphi=\frac{\pi}{3}$. 故选BD.]

例2　　已知$p:-2\leqslant x\leqslant10$，$q:1 - m\leqslant x\leqslant1 + m(m＞0)$.
(1)若$p$是$q$的必要不充分条件，则实数$m$的取值范围为________;
(2)若$p$是$q$的充分不必要条件，则实数$m$的取值范围为________.

答案： 答案　
(1)$(0,3]$　
(2)$[9,+\infty)$
　解析　
(1)因为$p$是$q$的必要不充分条件，所以$\begin{cases}1 - m\geqslant - 2\\1 + m＜10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m＞-2\\1 + m\leqslant10\end{cases}$，解得$m\leqslant3$，又$m＞0$，所以实数$m$的取值范围为$(0,3]$.
(2)因为$p$是$q$的充分不必要条件，所以$\begin{cases}1 - m\leqslant - 2\\1 + m＞10\end{cases}$或$\begin{cases}1 - m＜-2\\1 + m\geqslant10\end{cases}$，解得$m\geqslant9$，即实数$m$的取值范围为$[9,+\infty)$.

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3.(2023·福建福州四校联考)已知$p:A = \{x|\frac{x - 2}{1 - x}\leqslant0\}$，$q:B = \{x|x - a＜0\}$，若$p$是$q$的必要不充分条件，则实数$a$的取值范围是(　　　)
A. $(2,+\infty)$
B. $[2,+\infty)$
C. $(-\infty,1)$
D. $(-\infty,1]$

答案： D[由题意得$A=\{x|(x - 2)(x - 1)\geqslant0且x\neq1\}=\{x|x\geqslant2或x＜1\}$，$B=\{x|x＜a\}$，$\because p$是$q$的必要不充分条件，$\therefore B\subsetneqq A$，$\therefore a\leqslant1$. 故选D.]

例3　　(1)设命题$p$：平行四边形对角线相等，则$\neg p$为　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 平行四边形对角线不相等
B. 有的平行四边形对角线相等
C. 有的平行四边形对角线不相等
D. 不是平行四边形对角线就不相等

答案： C　[因为命题$p$为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以$\neg p$：有的平行四边形对角线不相等. 故选C.]

(2)(2024·湖北百校高三联考)设命题$p:\exists x\in(0,4)$，$2^{x}+\sqrt{x}=18$；命题$q$：每个三角形都有内切圆，则　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. 命题$p$的否定：$\forall x\in(0,4)$，$2^{x}+\sqrt{x}=18$
B. 命题$p$是真命题
C. 命题$q$的否定：存在一个三角形没有内切圆
D. 命题$q$是假命题

答案： C[命题$p$的否定应为“$\forall x\in(0,4),2^{x}+\sqrt{x}\neq18$”，所以A错误；因为$f(x)=2^{x}+\sqrt{x}$在$x\in(0,4)$上单调递增，所以$f(x)＜f(4)=18$，所以当$x\in(0,4)$时，$2^{x}+\sqrt{x}＜18$，所以命题$p$为假命题，所以B错误；命题$q$的否定为“存在一个三角形没有内切圆”，所以C正确；任何三角形都有内切圆，所以命题$q$为真命题，所以D错误. 故选C.]