《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1.(多选)下列命题正确的是　　　　　　　(　　　)
A. 零向量是唯一没有方向的向量
B. 零向量的长度等于0
C. 若$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$都为非零向量，则使$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|} + \frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|} = 0$成立的条件是$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$反向共线
D. 若$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{b}//\boldsymbol{c}$，则$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{c}$

答案： BC [零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B正确；因为$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$与$\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$都是单位向量，所以只有当$\frac{\boldsymbol{a}}{|\boldsymbol{a}|}$与$\frac{\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{b}|}$是相反向量，即$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$反向共线时才成立，故C正确；若$\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$，则不共线的$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{c}$也有$\boldsymbol{a}//\boldsymbol{0}$，$\boldsymbol{c}//\boldsymbol{0}$，故D错误.]

例2　　设$P$为$\square ABCD$对角线的交点，$O$为平面$ABCD$内的任意一点，则$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=$　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $\overrightarrow{OP}$　　　　　　　
　B. $2\overrightarrow{OP}$
C. $3\overrightarrow{OP}$　　　　　　　
　D. $4\overrightarrow{OP}$

答案： D [由题意知，P为AC，BD的中点，所以在$\triangle OAC$中，$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})$，即$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OP}$，在$\triangle OBD$中，$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD})$，即$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OP}$，所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OP}$. 故选D.]

2.(2024·山东青岛二中月考)若$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}| = 2$，则$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}| = $______.

答案： 答案 $2\sqrt{3}$
解析 因为$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}| = 2$，所以$\triangle ABC$是边长为2的正三角形，所以$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|$为$\triangle ABC$的边BC上的高的2倍，所以$|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}| = 2\sqrt{3}$.

例3　　(2022·新高考Ⅰ卷)在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD = 2DA$，记$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{CD} = \boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB}=$　　　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A. $3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$　　　　　
　B. $-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$
C. $3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$　　　　　
　D. $2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

答案： B [$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，即$\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$. 故选B.]