《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

6.(多选)对于函数$f(x)=\lg(|x - 2| + 1)$，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$f(x + 2)$是偶函数
B.$f(x + 2)$是奇函数
C.$f(x)$在$(-\infty,2)$上单调递减，在$(2,+\infty)$上单调递增
D.$f(x)$没有最小值

答案：
AC [作出$f(x)$的图象，$f(x)$的图象向左平移2个单位长度，得$f(x + 2)$的图象，且$f(x + 2)$的图象关于$y$轴对称，故$f(x + 2)$为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知$f(x)$在$(-\infty,2)$上是减函数，在$(2,+\infty)$上是增函数，故C正确；由图象可知函数存在最小值0，故D不正确.故选AC.]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例7　　已知$y = f(x)$是偶函数，$y = g(x)$是奇函数，它们的定义域都是$[-3,3]$，且它们在$x\in[0,3]$上的图象如图所示，则不等式$\frac{f(x)}{g(x)}＜0$的解集是________.

答案： 答案 $\{x|-2\lt x\lt - 1或0\lt x\lt1或2\lt x\lt3\}$
解析 $y = f(x)$是偶函数，由图象及偶函数对称性知，在$[-3,-2]$上$f(x)\lt0$，在$(-2,0)$上$f(x)\gt0$；$y = g(x)$是奇函数，由图象及奇函数对称性知，在$(-3,-1)$上$g(x)\lt0$，在$(-1,0)$上$g(x)\gt0$；当$\frac{f(x)}{g(x)}\lt0$时，有$\begin{cases}f(x)\gt0\\g(x)\lt0\end{cases}$或$\begin{cases}f(x)\lt0\\g(x)\gt0\end{cases}$，故所求不等式的解集是$\{x|-2\lt x\lt - 1或0\lt x\lt1或2\lt x\lt3\}$.

7.函数$f(x)$是周期为4的偶函数，当$x\in[0,2]$时，$f(x)=x - 1$，则不等式$xf(x)＞0$在$(-1,3)$上的解集为　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.$(1,3)$　　　　　　
　B.$(-1,1)$
C.$(-1,0)\cup(1,3)$　
　D.$(-1,0)\cup(0,1)$

答案：
C [作出函数$f(x)$的图象如图所示，当$x\in(-1,0)$时，由$xf(x)\gt0$得$x\in(-1,0)$；当$x\in(0,3)$时，由$xf(x)\gt0$得$x\in(1,3)$.所以不等式的解集为$(-1,0)\cup(1,3)$.故选C.]
　　　　　　　　　　　　　　　

例8　　函数$f(x)=\begin{cases}2\log_2x,x\geqslant1\\f(x + 1),x＜1\end{cases}$，若方程$f(x)=-2x + m$有且只有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是　　　　　　(　　　)
A.$(-\infty,4)$　　　　　
　B.$(-\infty,4]$
C.$(-2,4)$　　　　　
　D.$(-2,4]$

答案：
A [令$g(x)=-2x + m$，画出$f(x)$与$g(x)$的图象，平移直线，当直线经过$(1,2)$时只有一个交点，此时$m = 4$，向右平移，不再符合条件，故$m\lt4$.故选A.]
　　　　　　　　　

8.(2024·广东汕头高三模拟)已知函数$f(x)=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2 - x + \frac{3}{2},x\leqslant a\\-2x,x＞a\end{cases}$无最大值，则实数$a$的取值范围是______.

答案：
答案 $(-\infty,-1)$
解析 由题意可知，当$x\leq a$时，$f(x)=-\frac{1}{2}x^2 - x+\frac{3}{2}$，其图象的对称轴为直线$x=-1$，当$a\geq - 1$时，函数$f(x)=-\frac{1}{2}x^2 - x+\frac{3}{2}$有最大值，为$f(-1)=2$，当$a\lt - 1$时，函数$f(x)=-\frac{1}{2}x^2 - x+\frac{3}{2}$有最大值，为$f(a)=-\frac{1}{2}a^2 - a+\frac{3}{2}$，当$x\gt a$时，$f(x)=-2x$在$(a,+\infty)$上单调递减，故$f(x)\lt f(a)=-2a$，因为函数$f(x)$无最大值，故当$a\geq - 1$时，需满足$2\lt - 2a$，解得$a\lt - 1$，不符合题意，当$a\lt - 1$时，需满足$-\frac{1}{2}a^2 - a+\frac{3}{2}\lt - 2a$，解得$a\lt - 1$或$a\gt3$(舍去).综上，实数$a$的取值范围是$(-\infty,-1)$.