《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例1 （2024·山东青岛二中阶段考试）如图，在Rt△ABC中，
　　　　　　　　　　　　　　 ∠ABC = $\frac{\pi}{2}$，AC = 2AB，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，设$\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{AC}=b$，则向量$\overrightarrow{AD}$=（ ）
A. $a + b$
B. $\frac{1}{2}a + b$
C. $a + \frac{1}{2}b$
D. $a + \frac{2}{3}b$

答案： 例1 C [设圆O的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC = $\frac{\pi}{2}$，AC = 2AB，所以∠BAC = $\frac{\pi}{3}$，∠ACB = $\frac{\pi}{6}$，又∠BAC的平分线交△ABC的外接圆O于点D，所以∠ACB = ∠BAD = ∠CAD = $\frac{\pi}{6}$，则根据圆的性质得BD = AB，又因为在Rt△ABC中，AB = $\frac{1}{2}$AC = r = OD，所以四边形ABDO为菱形，所以$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AO}$ = a + $\frac{1}{2}$b. 故选C.]

【巩固迁移】
1.(2023·苏州质检)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若$\overrightarrow{CG}=\lambda\overrightarrow{CD}+\mu\overrightarrow{CB}(\lambda,\mu\in R)$，则$\frac{\lambda}{\mu}$=________.

答案： [巩固迁移] 1. 答案 $\frac{1}{2}$
解析 由题图可设$\overrightarrow{CG}=x\overrightarrow{CE}(0 ＜ x ＜ 1)$，则$\overrightarrow{CG}=x(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE})$ = $x(\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CD})=\frac{x}{2}\overrightarrow{CD}+x\overrightarrow{CB}$. 因为$\overrightarrow{CG}=\lambda\overrightarrow{CD}+\mu\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$与$\overrightarrow{CB}$不共线，所以$\lambda=\frac{x}{2}$，$\mu = x$，所以$\frac{\lambda}{\mu}=\frac{1}{2}$.

例2 已知$a=(5, - 2)$，$b=( - 4, - 3)$，若$a - 2b + 3c = 0$，则$c$=（ ）
A. $(\frac{13}{3},\frac{8}{3})$
B. $( - \frac{13}{3}, - \frac{8}{3})$
C. $(\frac{13}{3},\frac{4}{3})$
D. $( - \frac{13}{3}, - \frac{4}{3})$

答案： 例2 D [
∵a - 2b + 3c = 0，
∴c = -$\frac{1}{3}$(a - 2b).
∵a - 2b = (5， - 2) - (- 8， - 6) = (13，4)，
∴c = -$\frac{1}{3}$(a - 2b) = (-$\frac{13}{3}$， -$\frac{4}{3}$). 故选D.]

【巩固迁移】
2.(2024·吉林期末)已知向量$\overrightarrow{OA}=(2,3)$，$\overrightarrow{OB}=(4, - 1)$(O为坐标原点)，P是线段AB的中点，则点P的坐标是（ ）
A.(2, - 4)
B.(3,1)
C.( - 2,4)
D.(6,2)

答案： [巩固迁移] 2. B [因为点P是线段AB的中点，所以$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ = 2$\overrightarrow{OP}$，设P(x，y)，则$\begin{cases}2 + 4 = 2x\\3 - 1 = 2y\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$，所以点P的坐标是(3，1). 故选B.]

例3 设点A(2,0)，B(4,2)，若点P在直线AB上，且$|\overrightarrow{AB}| = 2|\overrightarrow{AP}|$，则点P的坐标为（ ）
A.(3,1)
B.(1, - 1)
C.(3,1)或(1, - 1)
D.(3,1)或(1,1)

答案： 例3 C [
∵A(2，0)，B(4，2)，
∴$\overrightarrow{AB}$ = (2，2)，
∵点P在直线AB上，且|$\overrightarrow{AB}$| = 2|$\overrightarrow{AP}$|，
∴$\overrightarrow{AB}$ = 2$\overrightarrow{AP}$或$\overrightarrow{AB}$ = - 2$\overrightarrow{AP}$，故$\overrightarrow{AP}$ = (1，1)或$\overrightarrow{AP}$ = (- 1， - 1)，故点P的坐标为(3，1)或(1， - 1). 故选C.]