《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）设数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，若$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n}}$，则$S_{9}=$（ ）
（2）$\frac{1}{n^{2}}＜\frac{1}{(n - 1)n}=\frac{1}{n - 1}-\frac{1}{n}$. （ ）
（3）求$S_{n}=a + 2a^{2}+3a^{3}+\cdots + na^{n}$时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和. （ ）
（4）若数列$a_{1}$，$a_{2}-a_{1}$，$\cdots$，$a_{n}-a_{n - 1}$是首项为1，公比为3的等比数列，则数列$\{a_{n}\}$的通项公式是$a_{n}=\frac{3^{n}-1}{2}$. （ ）

答案：
(1)×
(2)×
(3)×
(4)√

2. 小题热身
（1）（人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编）数列$\{a_{n}\}$的前n项和为$S_{n}$，若$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}$，则$S_{5}=$（ ）
A. 1 B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{6}$ D. $\frac{1}{30}$
（2）（人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编）数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=(-1)^{n}(2n - 1)$，则该数列的前100项和为（ ）
A. -200 B. -100
C. 200 D. 100
（3）（人教A选择性必修第二册习题4.3 T3改编）若数列$\{a_{n}\}$的通项公式$a_{n}=2^{n}+2n - 1$，则数列$\{a_{n}\}$的前n项和为（ ）
A. $2^{n}+n^{2}-1$ B. $2^{n + 1}+n^{2}-1$
C. $2^{n + 1}+n^{2}-2$ D. $2^{n}+n - 2$
（4）在数列$\{a_{n}\}$中，$a_{1}=1$，$a_{n}a_{n + 1}=-2$，则$S_{100}=$________.

答案：
(1)B [
∵$a_{n}=\frac{1}{n(n + 1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$,
∴$S_{5}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{5}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$. 故选 B.]
(2)D [$S_{100}=(-1 + 3)+(-5 + 7)+\cdots +(-197 + 199)=2×50 = 100$. 故选 D.]
(3)C [$S_{n}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{n}=(2^{1}+2×1 - 1)+(2^{2}+2×2 - 1)+(2^{3}+2×3 - 1)+\cdots +(2^{n}+2n - 1)=(2 + 2^{2}+\cdots +2^{n})+2(1 + 2 + 3+\cdots +n)-n=\frac{2(1 - 2^{n})}{1 - 2}+2×\frac{n(n + 1)}{2}-n=2(2^{n}-1)+n^{2}+n - n=2^{n + 1}+n^{2}-2$. 故选 C.]
(4)答案 -50解析 根据题意, 由$a_{1}=1,a_{1}a_{2}=-2$, 得$a_{2}=-2$, 又$a_{2}a_{3}=-2$, 得$a_{3}=1,a_{3}a_{4}=-2$, 得$a_{4}=-2,\cdots$, 所以$\{a_{n}\}$中所有的奇数项均为 1, 所有的偶数项均为 -2, 所以$S_{100}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{99}+a_{100}=1 - 2+\cdots +1 - 2=50×(-1)=-50$.

例1　　(2023·湖南岳阳统考三模)已知等比数列$\{ a_{n}\}$的前$n$项和为$S_{n}$，其公比$q\neq -1$，$\frac{a_{4}+a_{5}}{a_{7}+a_{8}}=\frac{1}{27}$，且$S_{4}=a_{3}+93$.
　(1)求数列$\{ a_{n}\}$的通项公式;
　(2)已知$b_{n}=\begin{cases}\log_{\frac{1}{3}}a_{n},n为奇数,\\a_{n},n为偶数,\end{cases}$求数列$\{ b_{n}\}$的前$n$项和$T_{n}$.

答案： 解
(1)因为$\{ a_{n}\}$是等比数列，公比$q\neq -1$，
则$a_{4}=a_{1}q^{3}$，$a_{5}=a_{1}q^{4}$，$a_{7}=a_{1}q^{6}$，$a_{8}=a_{1}q^{7}$，
所以$\frac{a_{4}+a_{5}}{a_{7}+a_{8}}=\frac{a_{1}q^{3}+a_{1}q^{4}}{a_{1}q^{6}+a_{1}q^{7}}=\frac{1}{q^{3}}=\frac{1}{27}$，解得$q = 3$，
由$S_{4}=a_{3}+93$，可得$\frac{a_{1}(1 - 3^{4})}{1 - 3}=9a_{1}+93$，解得$a_{1}=3$，
所以数列$\{ a_{n}\}$的通项公式为$a_{n}=3^{n}$．
(2)由
(1)得$b_{n}=\begin{cases}-n,n为奇数\\3^{n},n为偶数\end{cases}$．
当$n$为偶数时，$T_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots +b_{n}=(b_{1}+b_{3}+\cdots +b_{n - 1})+(b_{2}+b_{4}+\cdots +b_{n})=-(1 + 3+\cdots +n - 1)+(3^{2}+3^{4}+\cdots +3^{n})=-\frac{\frac{n}{2}\cdot[1+(n - 1)]}{2}+\frac{9(1 - 9^{\frac{n}{2}})}{1 - 9}=\frac{9}{8}(3^{n}-1)-\frac{n^{2}}{4}$；
当$n$为奇数时，$T_{n}=T_{n + 1}-b_{n + 1}=\frac{9}{8}(3^{n + 1}-1)-\frac{(n + 1)^{2}}{4}-3^{n + 1}=\frac{1}{8}\cdot3^{n + 1}-\frac{9}{8}-\frac{(n + 1)^{2}}{4}$．
综上所述，$T_{n}=\begin{cases}\frac{1}{8}\cdot3^{n + 1}-\frac{9}{8}-\frac{(n + 1)^{2}}{4},n为奇数\\\frac{9}{8}(3^{n}-1)-\frac{n^{2}}{4},n为偶数\end{cases}$．

1. 数列$1\frac{1}{2},3\frac{1}{4},5\frac{1}{8},7\frac{1}{16},\cdots,(2n - 1)+\frac{1}{2^{n}},\cdots$的前$n$项和$S_{n}$的值为________.

答案： 答案 $n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$
解析 由题意可得，通项公式为$a_{n}=(2n - 1)+\frac{1}{2^{n}}$，则$S_{n}=[1 + 3 + 5+\cdots+(2n - 1)]+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+\cdots+\frac{1}{2^{n}})=\frac{n[1+(2n - 1)]}{2}+\frac{\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{2^{n}})}{1 - \frac{1}{2}}=n^{2}+1-\frac{1}{2^{n}}$．