《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

例2 已知双曲线的焦距为4，焦点在x轴上，且过点P(2,3).
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长.

答案： 例2 解
(1)设双曲线的方程为x² / a² - y² / b² = 1(a ＞ 0,b ＞ 0)，由已知可得左、右焦点F₁,F₂的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，则|PF₁| - |PF₂| = 2 = 2a，所以a = 1，又c = 2，所以b = √3，所以双曲线的标准方程为x² - y² / 3 = 1.
(2)由题意知直线m的方程为y = x - 2，联立双曲线方程与直线方程并消去y，得2x² + 4x - 7 = 0，设两交点为A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，所以x₁ + x₂ = -2，x₁x₂ = -7 / 2，由弦长公式，得|AB| = √(1 + k²)·|x₁ - x₂| = √(1 + k²)·√((x₁ + x₂)² - 4x₁x₂) = 6.

【巩固迁移】
2.已知双曲线C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$过点($\sqrt{2}$,$\sqrt{3}$),给出以下两个条件：
①离心率为2;②与双曲线$\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$有相同的渐近线.
(1)任选一个条件，求出双曲线C的方程；
(2)直线l与直线4x-2y-1=0平行，l被C截得的弦长为$4\sqrt{5}$,求直线l的方程.

答案： [巩固迁移] 2.解
(1)若选择①：由{2 / a² - 3 / b² = 1, e = c / a = 2, c² = a² + b²}，解得{a² = 1, b² = 3}，所以双曲线C的方程为x² - y² / 3 = 1.
若选择②：设双曲线的方程为y² / 3 - x² = n(n ≠ 0)，依题意，得3 / 3 - 2 = n，解得n = -1，所以双曲线C的方程为x² - y² / 3 = 1.
(2)由题意，设直线l的方程为4x - 2y + m = 0，联立{x² - y² / 3 = 1, 4x - 2y + m = 0}，得4x² + 8mx + m² + 12 = 0，由Δ = 64m² - 16(m² + 12) = 48m² - 192 ＞ 0，解得m ＜ -2或m ＞ 2.设l交C于点A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则x₁ + x₂ = -2m，x₁x₂ = (m² + 12) / 4，所以|AB| = √(1 + 4)|x₁ - x₂| = √5·√((x₁ + x₂)² - 4x₁x₂) = √5·√(4m² - (m² + 12)) = 4√5，解得m = ±2√21 / 3.所以直线l的方程为6x - 3y + √21 = 0或6x - 3y - √21 = 0.

例3 (2023·全国乙卷)设A,B为双曲线$x^{2}-\frac{y^{2}}{9}=1$上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是 （ ）
A.(1,1)
B.(-1,2)
C.(1,3)
D.(-1,-4)

答案： 例3 D [解法一：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，则AB的中点M((x₁ + x₂) / 2,(y₁ + y₂) / 2)，可得$k_AB = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)，$直线OM(O为坐标原点)的斜率k = ((y₁ + y₂) / 2) / ((x₁ + x₂) / 2) = (y₁ + y₂) / (x₁ + x₂)，因为A，B在双曲线上，则{x₁² - y₁² / 9 = 1, x₂² - y₂² / 9 = 1}，两式相减得(x₁² - x₂²) - (y₁² - y₂²) / 9 = 0，所以$k_AB·k = (y₁² - y₂²) / (x₁² - x₂²) = 9. $对于A，k = 1，$k_AB = 9，$则直线AB:y = 9x - 8，联立方程{y = 9x - 8, x² - y² / 9 = 1}，消去y得72x² - 2×72x + 73 = 0，此时Δ = (-2×72)² - 4×72×73 = -288 ＜ 0，所以直线AB与双曲线没有交点，故A不符合题意；对于B，k = -2，k_AB = -9 / 2，则直线AB:y = -9 / 2x - 5 / 2，联立方程{y = -9 / 2x - 5 / 2, x² - y² / 9 = 1}，消去y得45x² + 2×45x + 61 = 0，此时Δ = (2×45)² - 4×45×61 = -4×45×16 ＜ 0，所以直线AB与双曲线没有交点，故B不符合题意；对于C，k = 3，k_AB = 3，则直线AB:y = 3x，由双曲线方程可得a = 1，b = 3，则直线AB:y = 3x为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C不符合题意；对于D，k = 4，k_AB = 9 / 4，则直线AB:y = 9 / 4x - 7 / 4，联立方程{y = 9 / 4x - 7 / 4, x² - y² / 9 = 1}，消去y得63x² + 126x - 193 = 0，此时Δ = 126² + 4×63×193 ＞ 0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D符合题意. 故选D.
解法二：设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，AB的中点为(x₀,y₀)，{x₁² - y₁² / 9 = 1 ①, x₂² - y₂² / 9 = 1 ②}，① - ②得$k_AB = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) = 9×(x₁ + x₂) / (y₁ + y₂) = 9×x₀ / y₀，$即 -3 ＜ 9×x₀ / y₀ ＜ 3⇒ -1 / 3 ＜ x₀ / y₀ ＜ 1 / 3，即y₀ / x₀ ＞ 3或y₀ / x₀ ＜ -3. 故选D.]