《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

2. 小题热身
(1)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T1改编)抛物线$y = 2x^{2}$的准线方程为 （ ）
A. $y=-\frac{1}{8}$
B. $y=-\frac{1}{4}$
C. $y=-\frac{1}{2}$
D. $y=-1$

答案： A [由$y = 2x^{2}$，得$x^{2}=\frac{1}{2}y$，故抛物线$y = 2x^{2}$的准线方程为$y = -\frac{1}{8}$. 故选 A.]

(2)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T31改编)抛物线$y^{2}=2px(p＞0)$上一点$M(3,y)$到焦点F的距离$|MF| = 4$，则抛物线的方程为 （ ）
A. $y^{2}=8x$
B. $y^{2}=4x$
C. $y^{2}=2x$
D. $y^{2}=x$

答案： B [由题意，可得$|MF| = x_{M}+\frac{p}{2}$，则$3+\frac{p}{2}=4$，即$p = 2$，故抛物线的方程为$y^{2}=4x$.]

(3)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T4改编)已知抛物线C与双曲线$x^{2}-y^{2}=1$有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________.

答案： 答案 $y^{2}=\pm4\sqrt{2}x$ 解析 由题意可知双曲线的焦点为$(-\sqrt{2},0),(\sqrt{2},0)$. 设抛物线方程为$y^{2}=\pm2px(p＞0)$，则$\frac{p}{2}=\sqrt{2}$，所以$p = 2\sqrt{2}$，所以抛物线$C$的方程为$y^{2}=\pm4\sqrt{2}x$.

(4)(人教A选择性必修第一册习题3.3 T8改编)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米. 水位下降1米后，水面宽________米.

答案：
答案 $2\sqrt{6}$ 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线方程为$x^{2}=-2py(p＞0)$. 由题意 将点$A(2,-2)$代入$x^{2}=-2py$，得$p = 1$，故 $x^{2}=-2y$. 设$B(x_{0},-3)$，代入$x^{2}=-2y$ 中，得$x_{0}=\sqrt{6}$，故水面宽$2\sqrt{6}$米.

例1　　(1)动圆与定圆A：$(x + 2)^2 + y^2 = 1$外切，且和直线$x = 1$相切，则动圆圆心的轨迹是（ ）
A. 直线　　　　　　　
　B. 椭圆
C. 双曲线　　　　　　
　D. 抛物线

答案： D [设动圆的圆心为点C，半径为r，则点C到定圆A：$(x + 2)^2 + y^2 = 1$的圆心的距离等于r + 1.又动圆的圆心到直线x = 1的距离等于r，所以动圆的圆心到直线x = 2的距离为r + 1，根据抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹为抛物线.故选D.]

(2)（2023·北京高考）已知抛物线C：$y^2 = 8x$的焦点为F，点M在C上. 若M到直线$x = -3$的距离为5，则$|MF|$=（ ）
A. 7　　　
　B. 6　　　
　C. 5　　　
　D. 4

答案： D [因为抛物线C：$y^2 = 8x$的焦点F(2，0)，准线方程为x = - 2，点M在C上，所以M到准线x = - 2的距离为|MF|，又M到直线x = - 3的距离为5，所以|MF| + 1 = 5，故|MF| = 4.故选D.]

1. 动点P到直线$x - 2 = 0$的距离比它到点$M(-4,0)$的距离小2，则点P的轨迹方程是（ ）
A. $y^2 = 16x$　　　　　
　B. $y^2 = -16x$
C. $x^2 = 16y$　　　　　
　D. $x^2 = -16y$

答案： B [依题意，动点P到直线x - 2 = 0的距离比它到点M(- 4，0)的距离小2，所以动点P到直线x - 4 = 0的距离与它到点M(- 4，0)的距离相等，所以点P的轨迹是以M为焦点，直线x = 4为准线的抛物线.故点P的轨迹方程是$y^2 = - 16x$.故选B.]

2. （2023·江西抚州质量监测）已知抛物线$x^2 = 4y$的焦点为F，点M在抛物线上，且$|MF| = 3$，则点M到y轴的距离为________.

答案： 答案 $2\sqrt{2}$
解析 设点M的坐标为$(x_M,y_M)$，由$x^2 = 4y$，得p = 2，根据抛物线的定义，知$|MF| = y_M+\frac{p}{2}=y_M + 1 = 3$，解得$y_M = 2$，代入$x^2 = 4y$，得$x_M=\pm2\sqrt{2}$，所以点M到y轴的距离为$2\sqrt{2}$.

例2　　(1)（多选）顶点在原点，对称轴为坐标轴且过点$P(-2,3)$的抛物线的标准方程是（ ）
A. $y^2 = \frac{9}{2}x$　　　　　
　B. $x^2 = \frac{4}{3}y$
C. $y^2 = -\frac{9}{2}x$　　　　
　D. $x^2 = -\frac{4}{3}y$

答案： BC [设抛物线的标准方程是$y^2 = kx$或$x^2 = my$，代入点P(- 2，3)，解得$k = -\frac{9}{2}$，$m=\frac{4}{3}$，所以$y^2 = -\frac{9}{2}x$或$x^2=\frac{4}{3}y$.]

(2)（2021·新高考Ⅰ卷）已知O为坐标原点，抛物线C：$y^2 = 2px(p＞0)$的焦点为F，P为C上一点，$PF$与x轴垂直，Q为x轴上一点，且$PQ\perp OP$. 若$|FQ| = 6$，则C的准线方程为________.

答案：
答案 $x = -\frac{3}{2}$
解析 解法一：不妨设点P在第一象限，如图，由已知可得$P(\frac{p}{2},p)$，所以$k_{OP}=2$，又PQ⊥OP，所以$k_{PQ}=-\frac{1}{2}$.所以直线PQ的方程为$y - p = -\frac{1}{2}(x-\frac{p}{2})$.令y = 0，得$x=\frac{5}{2}p$.所以$|FQ|=\frac{5}{2}p-\frac{p}{2}=2p = 6$，所以p = 3，所以C的准线方程为$x = -\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$.

解法二：由题易得$|OF|=\frac{p}{2}$，$|PF| = p$，$|PF|^2 = |OF|\cdot|FQ|$，即$p^2=\frac{p}{2}\times6$，解得p = 3或p = 0(舍去)，所以C的准线方程为$x = -\frac{3}{2}$.