《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

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3.已知二次函数$f(x)=x^{2}-bx + c$满足$f(0)=3,\forall x\in\mathbf{R}$，都有$f(1 + x)=f(1 - x)$成立，则$f(x)=$_______.

答案： 答案$x^{2}-2x + 3$
解析 由$f(0)=3$，得$c = 3$，又$f(1 + x)=f(1 - x)$，所以函数$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，所以$\frac{b}{2}=1$，即$b = 2$，所以$f(x)=x^{2}-2x + 3$。

例3　　（多选）二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图象如图，图象过点$A(-3,0)$，对称轴为直线$x = - 1$，则下列四个结论中正确的是 （ ）

A. $b^{2} ＞ 4ac$
B. $2a - b = 1$
C. $a - b + c = 0$
D. $5a ＜ b$

答案：
AD［因为图象与$x$轴交于两点，所以$b^{2}-4ac＞0$，即$b^{2}＞4ac$，A正确；对称轴为直线$x=-1$，即$-\frac{b}{2a}=-1$，$2a - b = 0$，B错误；结合图象，当$x=-1$时，$y＞0$，即$a - b + c＞0$，C错误；因为$2a - b = 0$，即$b = 2a$，根据抛物线开口向下，知$a＜0$，所以$5a＜2a$，即$5a＜b$，D正确。故选AD。］

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4.设$abc ＞ 0$，二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$的图象可能是 （ ）

答案： D［因为$abc＞0$，二次函数$f(x)=ax^{2}+bx + c$，对于A，$a＜0$，$b＜0$，$c＜0$，不符合题意；对于B，$a＜0$，$b＞0$，$c＞0$，不符合题意；对于C，$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，不符合题意。故选D。］

例4　　若函数$f(x)=x^{2}+a|x| + 2,x\in\mathbf{R}$在区间$[3,+\infty)$和$[-2,-1]$上均单调递增，则实数$a$的取值范围是 （ ）
A. $[-\frac{11}{3},-3]$
B. $[-6,-4]$
C. $[-3,-2\sqrt{2}]$
D. $[-4,-3]$

答案： B［$\because f(x)$为偶函数，$\therefore f(x)$在$[1,2]$上单调递减，在$[3,+\infty)$上单调递增，当$x＞0$时，$f(x)=x^{2}+ax + 2$，图象的对称轴为直线$x=-\frac{a}{2}$，$\therefore2\leqslant-\frac{a}{2}\leqslant3$，解得$-6\leqslant a\leqslant - 4$。故选B。］