《2025年金版教程高考科学复习解决方案数学》

1. 概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)a = b⇔ac = bc. （ ）
(2)若a＜b＜0，则$\frac{1}{a^{2n}}$＜$\frac{1}{b^{2n}}$(n∈N*). （ ）
(3)若a＞b＞c，则(a - b)c＞(b - a)c. （ ）

答案：
(1)×
(2)√
(3)×

2. 小题热身
(1)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是 （ ）
A.$\frac{y}{x}$＜1
$B.2^{-x}＜2^{-y}$
C.lg(x - y)＞0
$D.x^{2}＞y^{2}$

答案：
(1)B

(2)(人教B必修第一册2.2.1练习B T2改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有 （ ）
A.$\frac{a}{d}$＞$\frac{b}{c}$
B.$\frac{a}{d}$＜$\frac{b}{c}$
C.$\frac{a}{c}$＞$\frac{b}{d}$
D.$\frac{a}{c}$＜$\frac{b}{d}$

答案：
(2)B

(3)(人教A必修第一册习题2.1 T8)下列命题为真命题的是 （ ）
A.若a＞b＞0，则$ac^{2}＞bc^{2}$
B.若a＞b＞0，则$a^{2}＞b^{2}$
C.若a＜b＜0，则$a^{2}＜ab＜b^{2}$
D.若a＜b＜0，则$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{b}$

答案：
(3)B [对于 A，当 c² = 0 时不正确；对于 B，因为 a ＞ b ＞ 0，所以 a² - b² = (a + b)(a - b) ＞ 0，所以 a² ＞ b²，所以 B 正确；对于 C，由 a ＜ b ＜ 0 可得，a² ＞ ab ＞ b²，所以 C 不正确；对于 D，因为 a ＜ b ＜ 0，所以 $\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}$ ，所以 D 不正确．]

(4)已知1＜a + 2b＜2，-2＜2a - b＜1，则8a + b的取值范围是________.

答案：
(4)答案 (-4,7)
解析 因为 8a + b = 2(a + 2b) + 3(2a - b)，1 ＜ a + 2b ＜ 2，-2 ＜ 2a - b ＜ 1，所以 2 ＜ 2(a + 2b) ＜ 4，-6 ＜ 3(2a - b) ＜ 3，-4 ＜ 8a + b ＜ 7，故 8a + b 的取值范围是(-4,7)．

例1 （多选）（2023·湖南长沙长郡中学高三二模）已知实数a，b，c满足0 ＜ a ＜ b ＜ c，则下列不等式成立的是（ ）
A. $\frac{1}{c - a}＞\frac{1}{b - a}$
B. $\frac{b}{a}＞\frac{b + c}{a + c}$
C. $\frac{1}{a(c - a)}＞\frac{1}{b(c - a)}$
D. $ab + c^{2}＞ac + bc$

答案： BCD [因为0 ＜ a ＜ b ＜ c，所以c - a ＞ b - a ＞ 0，$\frac{1}{c - a}＜\frac{1}{b - a}$，故A错误；因为a ＞ 0，b ＞ 0，b + c ＞ 0，a + c ＞ 0，所以$\frac{b}{a}＞\frac{b + c}{a + c}\Leftrightarrow b(a + c)＞a(b + c)\Leftrightarrow bc＞ac\Leftrightarrow b＞a$，故B正确；因为a ＞ 0，b ＞ 0，c - a ＞ 0，所以$\frac{1}{a(c - a)}＞\frac{1}{b(c - a)}\Leftrightarrow\frac{1}{a}＞\frac{1}{b}\Leftrightarrow b＞a$，故C正确；ab + $c^{2}$＞ac + bc$\Leftrightarrow c(c - b)-a(c - b)＞0\Leftrightarrow (c - a)(c - b)＞0$，故D正确. 故选BCD.]

[巩固迁移]
1.（2024·山东济南高三开学考试）“$x＞y$”的一个充分条件可以是（ ）
A. $2^{x - y}＞\frac{1}{2}$
B. $x^{2}＞y^{2}$
C. $\frac{x}{y}＞1$
D. $xt^{2}＞yt^{2}$

答案： D [由x ＞ y，得x - y ＞ 0. 对于A，由$2^{x - y}＞\frac{1}{2}$，得$2^{x - y}＞2^{-1}$，由指数函数的性质，得x - y ＞ - 1，因为x - y ＞ - 1不一定有x - y ＞ 0，故A不正确；对于B，由$x^{2}＞y^{2}$，得$x^{2}-y^{2}＞0$，即(x + y)(x - y)＞0，则$\begin{cases}x + y＞0 \\ x - y＞0\end{cases}$或$\begin{cases}x + y＜0 \\ x - y＜0\end{cases}$，故B不正确；对于C，由$\frac{x}{y}＞1$，得$\frac{x}{y}-1＞0$，即$\frac{x - y}{y}＞0$，所以y(x - y)＞0，则$\begin{cases}y＞0 \\ x - y＞0\end{cases}$或$\begin{cases}y＜0 \\ x - y＜0\end{cases}$，故C不正确；对于D，由$xt^{2}＞yt^{2}$，知$t^{2}＞0$，所以x ＞ y成立，故D正确. 故选D.]

例2 已知$a,b\in\mathbf{R},a＞b＞0$，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. $\frac{a}{b}＞\frac{a - 1}{b - 1}$
B. $\frac{1}{a - b}＞\frac{1}{b}$
C. $\frac{a}{b}＞\frac{a + 1}{b + 1}$
D. $a-\frac{1}{b}＞b-\frac{1}{a}$

答案： C [对于A，$\frac{a}{b}-\frac{a - 1}{b - 1}=\frac{a(b - 1)-b(a - 1)}{b(b - 1)}=\frac{b - a}{b(b - 1)}$，因为b - 1的正负不确定，所以$\frac{a}{b}＞\frac{a - 1}{b - 1}$不一定成立，即A错误；对于B，$\frac{1}{a - b}-\frac{1}{b}=\frac{b-(a - b)}{b(a - b)}=\frac{2b - a}{b(a - b)}$，因为2b - a的正负不确定，所以$\frac{1}{a - b}＞\frac{1}{b}$不一定成立，即B错误；对于C，$\frac{a}{b}-\frac{a + 1}{b + 1}=\frac{a(b + 1)-b(a + 1)}{b(b + 1)}=\frac{a - b}{b(b + 1)}$，因为a - b ＞ 0，b ＞ 0，b + 1 ＞ 0，所以$\frac{a}{b}＞\frac{a + 1}{b + 1}$一定成立，即C正确；对于D，$a-\frac{1}{b}-(b-\frac{1}{a})=\frac{(a - b)(ab - 1)}{ab}$，因为ab - 1的正负不确定，所以$a-\frac{1}{b}＞b-\frac{1}{a}$不一定成立，即D错误. 故选C.]