《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★★) 如图4.4-13，∠ABD = ∠BCD = 90°，DB平分∠ADC，过点B作BM // CD交AD于点M. 连接CM交DB于点N.
(1) 求证：$BD^2 = AD·CD$；
(2) 若CD = 6，AD = 8，求MN的长.

答案： 17.
(1)
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB = ∠CDB.又
∵∠ABD = ∠BCD = 90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{BD}{CD}，$
∴$BD^2 = AD·CD.$
(2)
∵BM//CD，
∴∠MBD = ∠BDC，
∴∠ADB = ∠MBD，且∠ABD = 90°，
∴BM = MD，∠MAB = ∠MBA，
∴$BM = MD = AM = \frac{1}{2}AD = 4.$
∵$BD^2 = AD·CD，$且CD = 6,AD = 8，
∴$BD^2 = 48，$
∴$BC^2 = BD^2 - CD^2 = 12，$
∴$MC^2 = MB^2 + BC^2 = 28，$
∴$MC = 2\sqrt{7}.$
∵BM//CD，
∴∠MBN = ∠CDN，∠BMN = ∠DCN，
∴△MNB∽△CND，
∴$\frac{BM}{CD}=\frac{MN}{CN}=\frac{2}{3}.$又
∵$MC = 2\sqrt{7}，$

18. (★★) (2023·陕西) 如图4.4-14，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF = 2BF. 连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M. 若BC = 6，则线段CM的长为 【 】

A.$\frac{13}{2}$
B.7
C.$\frac{15}{2}$
D.8

答案： 18.C

19. (★★★) 如图4.4-15，在□ABCD中，过点A作AE ⊥ BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE = ∠B.
(1) 求证：△ADF ∽ △DEC；
(2) 若AB = 4，AD = $3\sqrt{3}$，AE = 3，求AF的长.

答案： 19.
(1)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,AB//CD，
∴∠ADF = ∠CED,∠B + ∠C = 180°.
∵∠AFE + ∠AFD = 180°，∠AFE = ∠B，
∴∠AFD = ∠C，
∴△ADF∽△DEC.
(2)
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC,CD = AB = 4.又
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD.
在Rt△ADE中$DE = \sqrt{AD^2 + AE^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = 6.$
∵△ADF∽△DEC，
∴$\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{CD}，$
∴$\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{AF}{4}，$$AF = 2\sqrt{3}.$