《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

1. (★) 方程 $ x^{2}-3x + 2 = 0 $ 的两根分别为 $ x_{1} = $____，$ x_{2} = $____，则 $ x_{1}+x_{2} = $____，$ x_{1}x_{2} = $____.

答案： $1 2 \frac{3}{2} 2$

2. (★) 一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0(a\neq0) $ 的两个实数根为 $ x_{1},x_{2} $，则有 $ x_{1}+x_{2} = $____，$ x_{1}x_{2} = $____.

答案： $-\frac{b}{a} -\frac{c}{a}$

3. (★) 一元二次方程 $ 3x^{2}-7x = 0 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $，$ x_{1}x_{2} = $.

答案： 3. $\frac{7}{3}$；$0$

4. (★) 一元二次方程 $ x^{2}-x - 1 = 0 $ 的两根的和与两根的积分别是 【 】

A.$ 1,1 $
B.$ -1,-1 $
C.$ 1,-1 $
D.$ -1,1 $

答案： 4 C

5. (★) 一元二次方程 $ 3x^{2}+x = 2 $ 的两个根为 $ x_{1},x_{2} $，则 $ x_{1}+x_{2} = $-\frac{1}{3}，$ x_{1}x_{2} = $-\frac{2}{3}.

答案： $5 -\frac{1}{3} -\frac{2}{3}$

6. (★★) 关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-3x + m = 0 $ 的一个根是 $ 2 $，则 $ m = $2.

答案： 6 2

7. (★★) 请你写出一个二次项系数为 $ 1 $，两根之积为 $ 3 $ 的一元二次方程：答案不唯一，如x^{2}-4x+3=0.

答案： 7 答案不唯一，如$x^{2}-4x+3=0$

8. (★★) 已知方程 $ 2x^{2}-4x - 1 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $，不解方程，求下列各式的值.
(1) $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $；
(2) $ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
(3) $ (x_{1}+1)(x_{2}+1) $；
(4) $ \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}} $；
(5) $ (x_{1}-x_{2})^{2} $.

答案： $8 (1)5 (2)-4 (3)2\frac{1}{2}$
(4)
∵$ x_{1},x_{2}$是方程$2x^{2}-4x-1=0$的两根，
∴$ x_{1}+x_{2}=2,x_{1}x_{2}=-\frac{1}{2}，$
∴$ \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}})^{2}-\frac{2}{x_{1}x_{2}}$
由
(2)知$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=-4，$
∴$ \frac{1}{x_{1}^{2}}+\frac{1}{x_{2}^{2}}=(-4)^{2}-\frac{2}{-\frac{1}{2}}=20.$
$(5)(x_{1}-x_{2})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2}，$
由
(1)，得$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=5，$
∴$ (x_{1}-x_{2})^{2}=5-2×(-\frac{1}{2})=6.$

9. (★) (2023·天津) 若 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-6x - 7 = 0 $ 的两个根，则 【 】

A.$ x_{1}+x_{2} = 6 $
B.$ x_{1}+x_{2} = -6 $
C.$ x_{1}x_{2} = -\frac{7}{6} $
D.$ x_{1}x_{2} = 7 $

答案： 9 A

10. (★★) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}-4x + m = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_{1},x_{2} $，且 $ x_{1}+3x_{2} = 5 $，则 $ m $ 的值为 【 】

A.$ \frac{7}{4} $
B.$ \frac{7}{5} $
C.$ \frac{7}{6} $
D.$ 0 $

答案： 10 A