《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

20. (★★★)如图1.2-12，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD=BD，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F. 求证：DE=DF.

答案： 20.连接CD,
∵ ∠ACB = 90°,AD = BD,
∴ CD = AD.
∵ AC = BC,AD = BD,
∴ ∠BCD = $\frac{1}{2}$∠ACB = 45°.
∵ AC = BC,∠ACB = 90°,
∴ ∠A = 45°,
∴ ∠A = ∠BCD.
∵ PE⊥AC,∠ACB = 90°,
∴ PE//CF.同理PF//EC,
∴ 四边形ECFP为平行四边形,
∴ CF = PE.
∵ ∠A = 45°,∠AEP = 90°,
∴ ∠APE = ∠A = 45°,
∴ AE = PE,
∴ AE = CF,
∴ △AED≌△CFD,
∴ DE = DF.

1. (★)矩形 $ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AB = 5cm$，$BC = 12cm$，则 $\triangle ABO$ 的周长等于18cm。

答案： 1. 18cm

2. (★)如图 1.2 - 13，在矩形纸片 $ABCD$ 中，$AB = 2cm$，点 $E$ 在 $BC$ 上，且 $AE = EC$。若将纸片沿 $AE$ 折叠，点 $B$ 恰好与 $AC$ 上的点 $B'$ 重合，则 $AC =$4 $cm$。

答案： 2. 4

3. (★)(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形；(3)对角线相等的平行四边形是矩形。

答案： 3.
(1)有一个角是直角
(2)有三个角是直角
(3)相等

4. （★）工人师傅做铝合金窗框按图 1.2 - 14 中的三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使 $AB = CD$，$EF = GH$；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是______形，依据的数学道理是______；
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是______形，依据的数学道理是______。

答案： 4.
(2)平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
(3)矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形