《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★) 如图 4.4 - 28，已知∠DAB = ∠ECB，∠ABD = ∠CBE. 求证：△ABC ∽ △DBE.

答案： 14.$\because$ ∠DAB=∠ECB，∠ABD=∠CBE，$\therefore$ △ABD∽△CBE，$\therefore$ $\frac{AB}{CB}=\frac{BD}{BE}$，即$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{BE}$。
$\because$ ∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DBE=∠DBC+∠CBE，$\therefore$ ∠ABC=∠DBE，$\therefore$ △ABC∽△DBE。

15. (★★★) 如图 4.4 - 29，在△ABC 中，AB = AC = 10cm，BC = 16cm. 点 D 由点 A 出发沿 AB 方向向点 B 匀速运动，同时点 E 由点 B 出发沿 BC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s. 连接 DE，设运动时间为 t(s) (0 ＜ t ＜ 10)，解答下列问题：
(1) 当 t 为何值时，△BDE 的面积为 7.5cm²？
(2) 在点 D，E 的运动中，是否存在时间 t，使得△BDE 与△ABC 相似？若存在，请求出对应的时间 t；若不存在，请说明理由.

答案：
15.
(1)分别过点D，A作DF⊥BC，AG⊥BC，垂足分别为F，G，如图，

$\therefore$ DF//AG，$\therefore$ ∠BDF=∠BAG，∠BFD=∠BGA，$\therefore$ △BDF∽△BAG，$\therefore$ $\frac{DF}{AG}=\frac{BD}{AB}$。
$\because$ AB=AC=10，BC=16，$\therefore$ BG=8，$\therefore$ AG=6。
$\because$ AD=BE=t，$\therefore$ BD=10 - t，$\therefore$ $\frac{DF}{6}=\frac{10 - t}{10}$。
解得DF=$\frac{3}{5}$(10 - t)。
$\because$ $S_{△BDE}=\frac{1}{2}$BE·DF = 7.5，$\therefore$ $\frac{3}{5}$(10 - t)·t = 15。
解得t = 5。
答：当t为5s时，△BDE的面积为7.5$cm^2$。
(2)存在。
①当BE=DE时，△BDE∽△BCA，$\therefore$ $\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{t}{10}=\frac{10 - t}{16}$。
解得t=$\frac{50}{13}$。
②当BD=DE时，△BDE∽△BAC，$\therefore$ $\frac{BE}{BC}=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{t}{16}=\frac{10 - t}{10}$，
解得t=$\frac{80}{13}$。
答：存在时间t为$\frac{50}{13}$s或$\frac{80}{13}$s时，使得△BDE与△ABC相似。

16. (★★★) 如图 4.4 - 30，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，翻折∠C，使点 C 落在斜边 AB 上某一点 D 处，折痕为 EF (点 E，F 分别在边 AC，BC 上)，若△CEF 与△ABC 相似：
(1) 当 AC = BC = 2 时，求 AD 的长；
(2) 当 AC = 3，BC = 4 时，求 AD 的长.

答案：
16.若△CEF与△ABC相似：
(1)当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如图①所示。此时D为AB边中点，AD=$\sqrt{2}$。


(2)当AC=3，BC=4时，分两种情况进行求解。
①若CE:CF=3:4，如图②所示。$\because$ CE:CF=AC:BC，$\therefore$ EF//AB。由折叠性质可知，CD⊥EF，$\therefore$ CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高。在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，$\therefore$ AB=5，$\therefore$ AC·BC=AB·CD，则CD=2.4。在Rt△ADC中，AC=3，CD=2.4，$\therefore$ AD=1.8。
②若CF:CE=3:4，如图③所示。$\because$ △CEF∽△CBA，$\therefore$ ∠CEF=∠B。由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，又$\because$ ∠A+∠B=90°，$\therefore$ ∠A=∠ECD，$\therefore$ AD=CD。同理可得∠B=∠FCD，$\therefore$ CD=BD，$\therefore$ 此时AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$×5 = 2.5。
综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5。