《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

5. (★)用配方法解方程$x^2 - 4x + 2 = 0$，下列配方正确的是【 】

A.$(x - 2)^2 = 2$
B.$(x + 2)^2 = 2$
C.$(x - 2)^2 = -2$
D.$(x - 2)^2 = 6$

答案： 5.A

6. (★★)用配方法解下列方程：
(1)$x^2 + 4x - 1 = 0$；
(2)$x^2 - 6x - 4 = 0$.

答案： 6.
(1)移项，得$x^{2} + 4x = 1$，
配方，得$x^{2} + 4x + 4 = 1 + 4$，$(x + 2)^{2} = 5$，
$\therefore x + 2 = \pm\sqrt{5}$，$\therefore x = -2 \pm\sqrt{5}$.
$\therefore x_{1} = -2 + \sqrt{5}$，$x_{2} = -2 - \sqrt{5}$.
(2)移项，得$x^{2} - 6x = 4$，配方，得$x^{2} - 6x + 3^{2} = 4 + 3^{2}$，$(x - 3)^{2} = 13$，$\therefore x - 3 = \pm\sqrt{13}$，
$\therefore x_{1} = 3 + \sqrt{13}$，$x_{2} = 3 - \sqrt{13}$.

7. (★★)如果一个三角形的两条边长分别是3和7，另一条边的长满足方程$x^2 - 10x + 21 = 0$，则这个三角形的周长是多少？

答案： 7.移项，得$x^{2} - 10x = -21$，配方，得
$x^{2} - 10x + 5^{2} = -21 + 5^{2}$，$(x - 5)^{2} = 4$，
即$x - 5 = \pm2$.
解得$x_{1} = 7$，$x_{2} = 3$.当$x = 3$时，$3 + 3 ＜ 7$，根据三角形三边关系，不符合题意，舍去.
当$x = 7$时，三角形周长为$3 + 7 + 7 = 17$.

8. (★)用配方法解方程$x^2 + \frac{2}{3}x + 1 = 0$时，正确的是【 】

A.$(x + \frac{1}{3})^2 = \frac{8}{9}$，$x = -\frac{1}{3} \pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$
B.$(x + \frac{1}{3})^2 = -\frac{8}{9}$，原方程无解
C.$(x + \frac{2}{3})^2 = \frac{5}{9}$，$x = -\frac{2}{3} \pm \frac{\sqrt{5}}{3}$
D.$(x + \frac{2}{3})^2 = -\frac{5}{9}$，原方程无解

答案： 8.B

9. (★★)关于$x$的方程$a(x + m)^2 + b = 0$的解是$x_1 = -2$，$x_2 = 1$（$a$，$m$，$b$均为常数，$a \neq 0$），则方程$a(x + m + 1)^2 + b = 0$的解是【 】

A.$x_1 = -3$，$x_2 = 0$
B.$x_1 = 0$，$x_2 = 3$
C.$x_1 = -4$，$x_2 = -1$
D.$x_1 = 1$，$x_2 = 4$

答案： 9.A

10. (★★)方程$x^2 - 4x = 5$的解是【 】

A.$x_1 = 5$，$x_2 = -1$
B.$x_1 = -5$，$x_2 = 1$
C.$x_1 = 11$，$x_2 = -7$
D.$x_1 = -11$，$x_2 = 7$

答案： 10.A

11. (★★)已知$M = \frac{2}{9}a - 1$，$N = a^2 - \frac{7}{9}a$（$a$为任意实数），则$M$，$N$的大小关系为【 】

A.$M ＜ N$
B.$M = N$
C.$M ＞ N$
D.不能确定

答案： 11.A

12. (★★)一个三角形的每条边的长都是方程$x^2 - 6x + 8 = 0$的根，则该三角形的周长是6或12或10.

答案： 12.6或12或10