《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

15. (★★)如图1.1-8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，沿△ABC的中线CM将△CMA折叠，使点A落在点D处，若CD恰好与MB垂直，求tanA.

答案： 15. 当$CD\perp AB$时，
$\because \angle ACB = 90°$，
$\therefore \angle DCB = \angle A$。
又$\because M$是AB的中点，
$\therefore AM = MC = MB$。
又$\because CM$将$\triangle ACM$折叠到$\triangle DCM$，
$\therefore \triangle ACM\cong\triangle DCM$，
$\therefore MD = MA = MC = MB$，
$\therefore \angle A = \angle ACM = \angle MCD$，
$\therefore \angle ACM = \angle MCD = \angle DCB = \frac{1}{3}×90° = 30°$，
$\therefore \angle A = 30°$，
$\therefore$在$\triangle ABC$中，$AB = 2CB,AC = \sqrt{3}CB$，
$\therefore \tan A = \frac{CB}{AC} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。

16. (★★)如图1.1-9，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是$\frac{1}{2}$.

答案： 16. $\frac{1}{2}$

17. (★★)如图1.1-10，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，点D在CB的延长线上，且BD=AB，求∠ADB的正切值.

答案： 17. 在等腰直角三角形ABC中，$BC = AC$，$AB = \sqrt{AC^{2}+BC^{2}} = \sqrt{AC^{2}+AC^{2}} = \sqrt{2}AC$。
$\because BD = AB = \sqrt{2}AC$，$CD = CB + BD = AC + \sqrt{2}AC = (\sqrt{2}+1)AC$，$\tan\angle ADB = \frac{AC}{CD} = \frac{AC}{(\sqrt{2}+1)AC} = \sqrt{2}-1$。

1. (★)如图1.1-11，在Rt△ABC中，∠C=90°。
(1) 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA=$\frac{($∠A的对边$)}{斜边}=\frac{($a$)}{c}$；
(2) 锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA=$\frac{($∠A的邻边$)}{斜边}=\frac{($b$)}{c}$。

答案： 1.
(1)对边 斜边 ∠A的对边 a
(2)邻边 斜边 ∠A的邻边 b

2. (★)梯子与地面的夹角为A，tanA的值越大，梯子越陡；sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡。

答案： 2.大 大 小