《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

21. (★★) 汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速。如图 1 - 12，有一条笔直的公路 $l$，其间设有区间测速，所有车辆限速 40 千米/时。数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$ 上确定 $A$，$B$ 两点，并在 $AB$ 路段进行区间测速。在 $l$ 外取点 $P$，作 $PC \perp l$，垂足为 $C$，测得 $PC = 30$ 米，$\angle APC = 71^{\circ}$，$\angle BPC = 35^{\circ}$。上午 9 时测得一汽车从点 $A$ 到点 $B$ 用时 6 秒，请你用所学的数学知识说明该汽车是否超速。（参考数据：$\sin 35^{\circ} \approx 0.57$，$\cos 35^{\circ} \approx 0.82$，$\tan 35^{\circ} \approx 0.70$，$\sin 71^{\circ} \approx 0.95$，$\cos 71^{\circ} \approx 0.33$，$\tan 71^{\circ} \approx 2.90$）

答案： 21.在$Rt\triangle APC$中，$AC = PC\tan\angle APC = 30\tan71^{\circ}\approx30×2.90 = 87$,
在$Rt\triangle BPC$中,$BC = PC\tan\angle BPC = 30\tan35^{\circ}\approx30×0.70 = 21$,
则$AB = AC - BC = 87 - 21 = 66$.
$\therefore$该汽车的实际速度为$\frac{66}{6}=11(m/s)$.
又$\because40km/h\approx11.1m/s$,
$\therefore$该汽车没有超速.

22. (★★) (2022·河南) 开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑。某数学小组测量拂云阁 $DC$ 的高度，如图 1 - 13，在 $A$ 处用测角仪测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $34^{\circ}$，沿 $AC$ 方向前进 15m 到达 $B$ 处，又测得拂云阁顶端 $D$ 的仰角为 $45^{\circ}$。已知测角仪的高度为 1.5m，测量点 $A$，$B$ 与拂云阁 $DC$ 的底部 $C$ 在同一水平线上，求拂云阁 $DC$ 的高度。（结果精确到 1m。参考数据：$\sin 34^{\circ} \approx 0.56$，$\cos 34^{\circ} = 0.83$，$\tan 34^{\circ} \approx 0.67$）

答案：
22.延长$EF$交$DC$于点$H$,由题意知,$EH\perp DC$.
设$DH = xm$,在$Rt\triangle DHF$中,$\angle DFH = 45^{\circ}$,
$\therefore FH = DH = x$.
在$Rt\triangle DHE$中,$\angle DEH = 34^{\circ}$,
$\therefore EH=\frac{DH}{\tan34^{\circ}}=\frac{x}{\tan34^{\circ}}$.
$\because EF = 15$,$\therefore EH - FH = 15$,即$\frac{x}{\tan34^{\circ}}-x = 15$.
解得$x\approx30.5$.$\therefore DC\approx30.5 + 1.5 = 32$.
答:拂云阁$DC$的高约为$32m$.