《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★)(2023·德阳)如图1.1-38，□ABCD的面积为12，AC=BD=6，AC与BD交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线相交于点F，G是CD的中点，P是四边形OCFD边上的动点，则PG的最小值是【 】

A.1

B.\frac{\sqrt{3}}{2}$$
$C.\frac{3}{2}$
D.3

答案：
17. A 【提示】
∵四边形ABCD为平行四边形,AC=BD,
∴OD=OC.
∵DF//AC,BD//CF,
∴四边形OCFD为平行四边形,
∴▱OCFD为菱形.
∵G是CD的中点,P是四边形OCFD边上的动点,
∴当GP垂直于菱形OCFD的一边时,PG有最小值.
如图,过点D作DM⊥AC于点M,过点G作GP⊥AC于点P,则GP//MD.
∵▱ABCD的面积为12,AC=6,
∴2×$\frac{1}{2}$AC·DM=12,
即2×$\frac{1}{2}$×6·DM=12,解得DM=2.
∵G为CD的中点,
∴P为CM的中点(若P不是CM的中点,则GP不是△DMC的中位线,则GP不平行于DM,与上面GP//MD矛盾),
∴GP为△DMC的中位线,
∴GP=$\frac{1}{2}$DM=1,
∴PG的最小值为1.

18. (★★)(2022·广元)如图1.1-39，在四边形ABCD中，AB//CD，AC平分∠DAB，AB=2CD，E为AB的中点，连接CE。
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D=120°，DC=2，求△ABC的面积。

答案： 18.
(1)
∵E为AB的中点,
∴AB=2AE=2BE.
∵AB=2CD,
∴CD=AE.
又
∵AE//CD,
∴四边形AECD是平行四边形.
∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC.
∵AB//CD,
∴∠DCA=∠BAC,
∴∠DCA=∠DAC,
∴AD=CD,
∴平行四边形AECD是菱形,即四边形AECD为菱形.
(2)
∵四边形AECD是菱形,∠D=120°,
∴AD=CD=CE=AE=2,∠D=120°=∠AEC,
∴AE=CE=BE,∠CEB=60°,
∴∠CAE=∠ACE=30°,△CEB是等边三角形,
∴BE=BC=CE=2,∠B=60°,
∴∠ACB=90°,
∴AC=$\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$,
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$AC·BC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$.

1. (★)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

答案： 1.有一个角是直角

2. (★)矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有以下性质：矩形的四个角____，矩形的对角线____.

答案： 2.都是直角 相等

3. (★)矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形；矩形有2条对称轴，矩形的对称中心是两条对角线的交点.

答案： 3.轴 中心 2 两条对角线的交点

4. (★)矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是【 】

A.对角相等
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.对边平行且相等

答案： 4.B

5. (★)如图1.2-1，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于【 】

A.112°
B.110°
C.108°
D.106°

答案： 5.D