《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

12. ($★★$)已知方程$x^{2}-5x+2=0$的两个解分别为$x_{1},x_{2}$，则$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}$的值为【 】

A.$-7$
B.$-3$
C.$7$
D.$3$

答案： 12.D

13. ($★★$)若$x^{2}-x-2=0$，则$\frac{(x^{2}-x)^{2}-1}{x^{2}-x+1}$的值是【 】

A.$1$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$或$-1$

答案： 13.A

14. ($★★$)有下面三个结论：①若$x^{2}=ax$，则$x=a$；②方程$2x(x - 1)=x - 1$的解为$x_{1}=1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$；③若$x^{2}-2x-3=0$，则$x=3$或$x=-1$。其中正确的有【 】

A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个

答案： 14.C

15. ($★★$)用适当方法解下列方程：
(1)$4x^{2}-3x=0$；
(2)$(y - 7)(\frac{1}{2}y+5)=0$；
(3)$x^{2}-3x-6=0$；
(4)$(2x - 1)^{2}-64=0$。

答案： 15.
(1)整理，得$(4x - 3)x = 0$，
$4x - 3 = 0$或$x = 0$，$\therefore x_{1}=\frac{3}{4}$，$x_{2}=0$.
(2)由$(y - 7)(\frac{1}{2}y + 5) = 0$，得
$y - 7 = 0$或$\frac{1}{2}y + 5 = 0$，
$\therefore y_{1}=7$，$y_{2}=-10$.
(3)
∵ $a = 1$，$b = -3$，$c = -6$，
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4 × 1 × (-6)=33$，
$x=\frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}$，
即$x_{1}=\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$，$x_{2}=\frac{3 - \sqrt{33}}{2}$
(4)由$(2x - 1)^{2}-64 = 0$，得
$(2x - 1)^{2}=64$，$2x - 1 = \pm 8$，
$2x - 1 = 8$或$2x - 1 = -8$，
$\therefore x_{1}=\frac{9}{2}$，$x_{2}=-\frac{7}{2}$

16. ($★$)一元二次方程$(x + 1)(x - 1)=2x + 3$的根的情况是【 】

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根

答案： 16.A

17. ($★★$)定义：如果一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$满足$a + b + c=0$，那么我们称这个方程为“凤凰方程”。已知$ax^{2}+bx+c=0(a\neq0)$是“凤凰方程”，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是【 】

A.$a=c$
B.$a=b$
C.$b=c$
D.$a=b=c$

答案： 17.A

18. ($★★$)已知关于$x$的一元二次方程$(x - 3)(x - 2)=\vert m\vert$。
(1)求证：对于任意实数$m$，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一个根是$1$，求$m$的值及方程的另一个根。

答案： 18.
(1)原方程可化为$x^{2}-5x + 6 - |m| = 0$.
$\therefore \Delta=(-5)^{2}-4 × (6 - |m|)=25 - 24 + 4|m| = 1 + 4|m|$.
$\because |m| \geq 0$，$\therefore 1 + 4|m| ＞ 0$.
$\therefore$ 对于任意实数$m$，方程总有两个不相等的实数根.
(2)把$x = 1$代入原方程，得$|m| = 2$.
$\therefore m = \pm 2$.
把$|m| = 2$代入原方程，得$x^{2}-5x + 4 = 0$.
$\therefore x_{1}=1$，$x_{2}=4$.
$\therefore m$的值为$\pm 2$，方程的另一个根是$4$.