《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

13. (★★)如图 2.3 - 5，二次函数 $ y = ax^2 + bx $ 的图象经过点 $ A(2, 4) $ 与 $ B(6, 0) $。
(1) 求 $ a $，$ b $ 的值；
(2) 点 $ C $ 是该二次函数图象上 $ A $，$ B $ 两点之间的一动点，横坐标为 $ x(2 ＜ x ＜ 6) $，写出四边形 $ OACB $ 的面积 $ S $ 关于点 $ C $ 的横坐标 $ x $ 的函数表达式，并求 $ S $ 的最大值。

答案： 13.
(1)将$A(2,4)$与$B(6,0)$代入$y = ax^{2} + bx$，得$\begin{cases}4a + 2b = 4, \\ 36a + 6b = 0, \end{cases}$解得$\begin{cases}a = -\frac{1}{2} \\ b = 3 \end{cases}$即为所求.
(2)如图，过点$A$作$x$轴的垂线，垂足为$D(2,0)$，连接$CD$，过点$C$作$CE \perp AD,CF \perp x$轴，垂足分别为$E,F$，连接$CB$，则$S_{\triangle OAD} = \frac{1}{2}OD · AD = \frac{1}{2}×2×4 = 4$，$S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}AD · CE = \frac{1}{2}×4×(x - 2) = 2x - 4$，$S_{\triangle BCD} = \frac{1}{2}BD · CF = \frac{1}{2}×4×(-\frac{1}{2}x^{2} + 3x) = -x^{2} + 6x$，
　　$\therefore S = S_{\triangle OAD} + S_{\triangle ACD} + S_{\triangle BCD} = 4 + (2x - 4) + (-x^{2} + 6x) = -x^{2} + 8x$，
$\therefore S$关于$x$的函数表达式为$S = -x^{2} + 8x (2 ＜ x ＜ 6)$.
　　$\because S = -x^{2} + 8x = -(x - 4)^{2} + 16$，
　　$\therefore$当$x = 4$时，四边形$OACB$的面积$S$有最大值，最大值为$16$.

14. (★★★)（2023·贵州改编）如图 2.3 - 6①是一座抛物线形拱桥。小星学习二次函数后，受到该图启示设计了一建筑物造型，它的截面图是抛物线的一部分（如图 2.3 - 6②），抛物线的顶点在 $ C $ 处，对称轴 $ OC $ 与水平线 $ OA $ 垂直，$ OC = 9 $，点 $ A $ 在抛物线上，且点 $ A $ 到对称轴的距离 $ OA = 3 $，点 $ B $ 在抛物线上，点 $ B $ 到对称轴的距离是 $ 1 $。
(1) 求抛物线的表达式；
(2) 如图 2.3 - 6②，为更加稳固，小星想在 $ OC $ 上找一点 $ P $，加装拉杆 $ PA $，$ PB $，同时使拉杆的长度之和最短，请你帮小星找到点 $ P $ 的位置并求出其坐标。

答案：
14.
(1)设抛物线的表达式为$y = ax^{2} + 9$.
　　把点$A(3,0)$代入，得$9a + 9 = 0$，
　　解得$a = -1$，
　　$\therefore$抛物线的表达式为$y = -x^{2} + 9$.
(2)如图，作$A$点关于$y$轴的对称点$A'(-3,0)$，连接$A'B$交$OC$于点$P$，则点$P$即为所求.
　　把$x = 1$代入$y = -x^{2} + 9$，得$y = 8$，$\therefore$点$B$的坐标为$(1,8)$.
　　设直线$A'B$的解析式为$y = kx + m(k \neq 0)$，它过$A'(-3,0)$和$B(1,8)$，
　　$\begin{cases} -3k + m = 0, \\ k + m = 8, \end{cases}$解得$\begin{cases}k = 2, \\ m = 6, \end{cases}$
　　$\therefore y = 2x + 6$.令$x = 0$，得$y = 6$，
　　$\therefore$点$P$的坐标为$(0,6)$.