《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

12. (★★)如图1.5-10，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A，B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km.
(1)求景点B与C间的距离；
(2)为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长.（结果保留根号）

答案：
12.
(1)如图,由题意,得∠CAB=30°,∠ABC=90°+30°=120°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=30°,
∴∠CAB=∠ACB=30°,
∴BC=AB=10km,
即景点B与C间的距离为10km.

(2)如上图,过点C作CE⊥AB于点E,
∵BC=10km,C位于B的北偏东30°的方向上,
∴∠CBE=60°.
在Rt△CBE中,CE=BC·sin∠CBE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=5$\sqrt{3}$km.
即这条最短公路的长为5$\sqrt{3}$km.

13. (★★)如图1.5-11，为了测量大桥的长度，一架直升飞机位于距地面O点450m的P处，观测大桥两端点，得俯角分别是α=30°，β=45°，且A，B，O三点在同一直线上，求大桥AB的长.（结果精确到1m，参考数据：$\sqrt{3}≈1.732$）

答案： 13.
∵∠α=30°,∠β=45°,
∴∠A=30°,∠PBO=45°.
在Rt△APO中,∠A=30°,∠POA=90°,PO=450m,
∴$\frac{PO}{OA}$=tan30°,则AO=450$\sqrt{3}$m.
在Rt△BOP中,∠PBO=45°,PO=450m,
∴BO=PO=450m,
∴AB=AO-BO=450$\sqrt{3}$-450≈329(m).
答:大桥AB的长度约为329m.