《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

14. (★★) 当汽车的功率 $ P $ 一定时，汽车行驶的速度 $ v(m/s) $ 与它所受的牵引力 $ F(N) $ 成反比例 $ (v = \frac{P}{F}) $。
(1) 当汽车所受的牵引力为 $ 1200N $ 时，汽车的速度为多少？
(2) 如果限定汽车的速度不超过 $ 30m/s $，则汽车所受的牵引力 $ F $ 在什么范围内？

答案： 14.
(1)$v = \frac{P}{1200}(m/s)$.
(2)$F \geq \frac{P}{30}(N)$.

15. (★★) 环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的 $ 1.0mg/L $。环保局要求该企业立即整改，在 $ 15 $ 天以内 (含 $ 15 $ 天) 排污达标。整改过程中，所排污水中硫化物的浓度 $ y(mg/L) $ 与时间 $ x $ (天) 的变化规律如图 6.3 - 11 所示，其中线段 $ AB $ 表示前 $ 3 $ 天的变化规律，从第 $ 3 $ 天起，所排污水中硫化物的浓度 $ y $ 与时间 $ x $ 成反比例关系。
(1) 求整改过程中硫化物的浓度 $ y $ 与时间 $ x $ 的函数表达式。
(2) 该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在 $ 15 $ 天以内不超过最高允许的 $ 1.0mg/L $？为什么？

答案： 15.
(1)分情况讨论:①当$0 \leq x \leq 3$时，设线段$AB$对应的函数表达式为$y = kx + b(k \neq 0)$.把$A(0,10),B(3,4)$代入，得$\begin{cases}b = 10 \\3k + b = 4 \end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -2 \\b = 10 \end{cases}$，
$\therefore y = -2x + 10$.
②当$x ＞ 3$时，设$y = \frac{m}{x}(m \neq 0)$，把$(3,4)$代入，
得$4 = \frac{m}{3}$，$\therefore m = 3 × 4 = 12$，$\therefore y = \frac{12}{x}$.综上所述，
当$0 \leq x \leq 3$时，$y = -2x + 10$；当$x ＞ 3$时，$y = \frac{12}{x}$.
(2)能.理由如下:令$y = \frac{12}{x} = 1$，$\therefore x = 12$.
$\because 12 ＜ 15$，$\therefore$能在$15$天以内不超过最高允许的$1.0mg/L$.

16. (★★) (2022·宿迁) 如图 6.3 - 12，点 $ A $ 在反比例函数 $ y = \frac{2}{x} $ ($ x ＞ 0 $) 的图象上，以 $ OA $ 为一边作等腰直角三角形 $ OAB $，其中 $ \angle OAB = 90° $，$ AO = AB $，则线段 $ OB $ 长的最小值是 【 】

A.$ 1 $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 4 $

答案： 16. C【提示】
∵三角形$OAB$是等腰直角三角形，$\angle OAB = 90°$，$\therefore$当$OB$最小时，$OA$最小.
设点$A$的坐标为$(a, \frac{2}{a})(a ＞ 0)$，则$OA = \sqrt{a^{2} + \frac{4}{a^{2}}}$
$\because (a - \frac{2}{a})^{2} \geq 0$，即$a^{2} + \frac{4}{a^{2}} - 4 \geq 0$，$\therefore a^{2} + \frac{4}{a^{2}} \geq 4$，$\therefore$当$a = \frac{2}{a}$时，$OA$有最小值，解得$a_{1} = \sqrt{2}$，$a_{2} = -\sqrt{2}$(不合题意，舍去)，
$\therefore$点$A$的坐标为$(\sqrt{2}, \sqrt{2})$，$\therefore OA = 2$.
$\because$三角形$OAB$是等腰直角三角形，$OB$为斜边，
$\therefore OB = \sqrt{2}OA = 2\sqrt{2}$.

17. (★★★) (2022·绍兴) 如图 6.3 - 13，在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，点 $ A(0,4) $，$ B(3,4) $，将 $ \triangle ABO $ 向右平移到 $ \triangle CDE $ 的位置，$ A $ 的对应点是 $ C $，$ O $ 的对应点是 $ E $，函数 $ y = \frac{k}{x} $ ($ k \neq 0 $) 的图象经过点 $ C $ 和 $ DE $ 的中点 $ F $，则 $ k $ 的值是6。

答案：
17. 6【提示】如图，作$FG \perp x$轴，$DQ \perp x$轴，$FH \perp y$轴，垂足分别为$G,Q,H$，根据题意可知，$AC = OE = BD$.设$AC = OE = BD = a$，$\therefore$四边形$ACEO$的面积为$4a$.
$\because F$为$DE$的中点，$FG \perp x$轴，$DQ \perp x$轴，$\therefore G$为$EQ$的中点，$\therefore FG$为$\triangle EDQ$的中位线，
$\therefore FG = \frac{1}{2}DQ = 2$，$EG = \frac{1}{2}EQ = \frac{3}{2}$，$\therefore$四边形$HFGO$的面积为$2(a + \frac{3}{2})$，$\therefore k = 4a = 2(a + \frac{3}{2})$，
解得$a = \frac{3}{2}$，$\therefore k = 6$.