《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

17. (★★) (2022·巴中) 对于实数 $ a $，$ b $，定义新运算：$ a※b = ab^{2}-b $，若关于 $ x $ 的方程 $ 1※x = k $ 有两个不相等的实数根，则 $ k $ 的取值范围为 【 】

A.$ k＞-\frac{1}{4} $
B.$ k＜-\frac{1}{4} $
C.$ k＞-\frac{1}{4} $ 且 $ k\neq0 $
D.$ k\geqslant-\frac{1}{4} $ 且 $ k\neq0 $

答案： 17.A

18. (★★) 直线 $ y = x + a $ 不经过第二象限，则关于 $ x $ 的方程 $ ax^{2}+2x + 1 = 0 $ 实数解的个数是 【 】

A.0
B.1
C.2
D.1 或 2

答案： 18.D【提示】
∵直线y=x+a不经过第二象限，
∴$a \leqslant 0。$当a=0时，关于x的方程$a x^{2}+2 x+1=0$是一元一次方程，解得$x=-\frac{1}{2}；$当a＜0时，关于x的方程$a x^{2}+2 x+1=0$是一元二次方程，
∴$\Delta=2^{2}-4 a＞0，$
∴方程有两个不相等的实数根.综上，关于x的方程$a x^{2}+2 x+1=0$的实数解的个数是1或2.

19. (★★) 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-(k + 2)x + 2k = 0 $.
(1) 求证：无论 $ k $ 取何实数值，方程总有实数根；
(2) 若等腰三角形 $ ABC $ 的一边 $ a = 3 $，另两边长 $ b $，$ c $ 恰好是这个方程的两个根，求 $ \triangle ABC $ 的周长.

答案： 19.
(1)由题意知$b^{2}-4 a c=[-(k+2)]^{2}-4 × 2 k$
$=(k-2)^{2}，$
∵不论k取任何实数，$(k-2)^{2} \geqslant 0，$
∴方程总有两个实数根.
(2)由
(1)知$b^{2}-4 a c=(k-2)^{2}，$
∴$x=\frac{(k+2) \pm \sqrt{(k-2)^{2}}}{2}，$
∴$x_1=2,x_2=k.$
∵另两边长b,c恰好是方程$x^{2}-(k+2)x+2k=0$的两个根，
∴$\Delta ABC$的另两边长b,c为2或k.
分两种情况：①当a为底时，b,c为腰，
∴b=c，
∴k=2，
∴$\Delta ABC$的周长为2+2+3=7.
②当a为腰时，则b,c中必有一边与a相等，
∴k=3，
∴$\Delta ABC$的周长为3+3+2=8.
故$\Delta ABC$的周长为7或8.

1. (★)用22cm长的铁丝，折成一个面积为28cm²的矩形，这个矩形较长边的长度是7cm。

答案： 1. 7cm

2. (★)一个群聊里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息132条，则可列方程【 】

A.$\frac{1}{2}x(x - 1) = 132$
B.$x(x - 1) = 132$
C.$\frac{1}{2}x(x + 1) = 132$
D.$x(x + 1) = 132$

答案： 2. B

3. (★)若两个连续奇数的积是255，则这两个数的和为【 】

A.31
B.32
C.±31
D.±32

答案： 3. D

4. (★)如图2.3 - 1，把一块长为45cm、宽为25cm的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒。若该无盖纸盒的底面积为625cm²，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为【 】

A.$(45 - 2x)(25 - 2x) = 625$
B.$(45 - x)(25 - x) = 625$
C.$(45 - x)(25 - 2x) = 625$
D.$(45 - 2x)(25 - x) = 625$

答案： 4. A