《2025年基础训练大象出版社九年级数学全一册北师大版》

11. （★）在△ABC中，∠A和∠B都是锐角，且sinA=√3/2，tanB=√3/3，则∠C等于【 】

A.90°
B.75°
C.60°
D.45°

答案： 11. A

12. （★★）如图1.2−1，在△ABC中，∠A=30°，tanB=√3/2，AC=2√3，则AB的长是【 】

A.3+√3
B.2+2√3
C.5
D.9/2

答案： 12. C

13. （★★）如果△ABC中，sinA=cosB=√2/2，那么下列最确切的结论是【 】

A.△ABC是直角三角形
B.△ABC是等腰三角形
C.△ABC是等腰直角三角形
D.△ABC是锐角三角形

答案： 13. C

14. (★★)观察下列各式：
①sin30°=1/2，cos60°=1/2；②sin45°=√2/2，cos45°=√2/2；③sin60°=√3/2，cos30°=√3/2；……
根据以上规律，计算：sin²α+sin²(90°−α)=1.

答案： 14. 1

15. (★★)若∠A为锐角，则√{cos²A−2cosA+1} + cosA=1.

答案： 15. 1

16. （★★）计算：
（1）2sin30°+3tan30°+tan45°；
（2）(cos45°+3tan30°)(sin45°−tan60°).

答案： 16.
(1)原式$=2 × \frac{1}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 2 + \sqrt{3}$
(2)原式$=(\frac{\sqrt{2}}{2} + 3 × \frac{\sqrt{3}}{3})(\frac{\sqrt{2}}{2} - \sqrt{3}) = \frac{1}{2} - 3 = -\frac{5}{2}$

17. （★★★）如图1.2−2，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向，距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处.
（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离；（结果用根号表示）
（2）若渔船以20海里/时的速度从B处沿BM方向行驶，求渔船从B处到达小岛M的航行时间.（结果精确到0.1小时，参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45）

答案：
17.
(1)如图，过点$M$作$MD \perp AB$于点$D$
$\because \angle AME = 45^{\circ}$
$\therefore \angle AMD = \angle MAD = 45^{\circ}$
$\because AM = 180$海里$\therefore MD = AM · \cos 45^{\circ} = 90\sqrt{2}$海里

答：渔船从$A$到$B$的航行过程中与小岛$M$之间的最小距离是$90\sqrt{2}$海里
(2)在$Rt \triangle DMB$中，$\angle BMF = 60^{\circ}$
$\therefore \angle DMB = 30^{\circ} \because MD = 90\sqrt{2}$海里
$\therefore MB = \frac{MD}{\cos 30^{\circ}} = 60\sqrt{6}$海里$\therefore 60\sqrt{6} ÷ 20 = 3\sqrt{6} \approx 3 × 2.45 = 7.35 \approx 7.4$(时)
答：渔船从$B$处到达小岛$M$的航行时间约为$7.4$小时